Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

### Phần a:
Cho hình thang ABCD với \( \angle A = \angle D = 90^\circ \). Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Chứng minh rằng \( \triangle ABD \sim \triangle DAC \) và suy ra \( AD^2 = AB \cdot DC \).

**Chứng minh:**
- Xét hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle DAC \):
- \( \angle ADB = \angle DAC = 90^\circ \) (do \( \angle A = \angle D = 90^\circ \)).
- \( \angle ABD = \angle CAD \) (do hai góc này cùng bằng \( \angle AIB \) và \( \angle CID \) là góc đối đỉnh).

Do đó, hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle DAC \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AD}
\]
Suy ra:
\[
AD^2 = AB \cdot AC
\]

### Phần b:
Gọi E là hình chiếu của B xuống DC và O là trung điểm của BD. Chứng minh ba điểm A, O, E thẳng hàng.

**Chứng minh:**
- Gọi \( E \) là hình chiếu của \( B \) xuống \( DC \), tức là \( BE \perp DC \).
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( BD \).

Xét tam giác vuông \( \triangle BDC \) với \( O \) là trung điểm của \( BD \). Do đó, \( O \) cũng là trung điểm của \( BE \) (vì \( BE \perp DC \) và \( O \) nằm trên đường trung bình của tam giác vuông \( \triangle BDC \)).

- Do \( A \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( DC \) tại \( D \), và \( O \) là trung điểm của \( BD \), nên \( A, O, E \) thẳng hàng.

### Phần c:
Tính tỉ số diện tích hai tam giác \( \triangle AIB \) và \( \triangle DIC \).

**Giải:**
- Diện tích của \( \triangle AIB \) là:
\[
S_{AIB} = \frac{1}{2} \cdot AI \cdot BI
\]
- Diện tích của \( \triangle DIC \) là:
\[
S_{DIC} = \frac{1}{2} \cdot DI \cdot CI
\]

Do \( \triangle ABD \sim \triangle DAC \), ta có:
\[
\frac{AI}{DI} = \frac{BI}{CI}
\]

Từ đó, tỉ số diện tích của hai tam giác là:
\[
\frac{S_{AIB}}{S_{DIC}} = \frac{AI \cdot BI}{DI \cdot CI} = \left( \frac{AI}{DI} \right)^2 = \left( \frac{BI}{CI} \right)^2
\]

### Phần d:
Chứng minh tam giác \( \triangle DAB \) đồng dạng với tam giác \( \triangle CBD \).

**Chứng minh:**
- Xét hai tam giác \( \triangle DAB \) và \( \triangle CBD \):
- \( \angle DAB = \angle CBD \) (do cùng bằng \( 90^\circ \)).
- \( \angle ABD = \angle BDC \) (do hai góc này cùng bằng \( \angle AIB \) và \( \angle CID \) là góc đối đỉnh).

Do đó, hai tam giác \( \triangle DAB \) và \( \triangle CBD \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

### Phần e:
Tính độ dài của \( DB \) và \( DC \).

**Giải:**
- Để tính độ dài của \( DB \) và \( DC \), ta cần biết các cạnh của tam giác vuông \( \triangle ABD \) và \( \triangle DAC \). Giả sử các cạnh này là \( AB = a \), \( AD = b \), \( DC = c \).

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABD \):
\[
DB = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle DAC \):
\[
DC = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{b^2 + c^2}
\]

Tuy nhiên, để có kết quả chính xác, cần biết cụ thể các giá trị của \( AB \), \( AD \), và \( DC \).