Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{108}{x} - \frac{63}{y} = 7 \\
\frac{81}{x} - \frac{84}{y} = 7
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đại số để tìm giá trị của \( x \) và \( y \).

Đầu tiên, đặt \( \frac{1}{x} = a \) và \( \frac{1}{y} = b \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
108a - 63b = 7 \\
81a - 84b = 7
\end{cases}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

1. Nhân phương trình thứ nhất với 4 và phương trình thứ hai với 3 để làm cho hệ số của \( a \) trong cả hai phương trình bằng nhau:

\[
\begin{cases}
432a - 252b = 28 \\
243a - 252b = 21
\end{cases}
\]

2. Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:

\[
(432a - 252b) - (243a - 252b) = 28 - 21
\]

\[
432a - 243a = 7
\]

\[
189a = 7
\]

\[
a = \frac{7}{189} = \frac{1}{27}
\]

3. Thay \( a = \frac{1}{27} \) vào phương trình đầu tiên:

\[
108 \cdot \frac{1}{27} - 63b = 7
\]

\[
4 - 63b = 7
\]

\[
-63b = 3
\]

\[
b = -\frac{3}{63} = -\frac{1}{21}
\]

Vậy \( a = \frac{1}{27} \) và \( b = -\frac{1}{21} \).

4. Chuyển đổi lại giá trị của \( a \) và \( b \) về \( x \) và \( y \):

\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{27} \Rightarrow x = 27
\]

\[
\frac{1}{y} = -\frac{1}{21} \Rightarrow y = -21
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 27 \) và \( y = -21 \).