Chúng ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\
\frac{4}{x-2} - \frac{3}{y+1} = 1
\end{cases}
\]

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ đặt:

\[
u = \frac{1}{x-2} \quad \text{và} \quad v = \frac{1}{y+1}
\]

Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
2u + v = 3 \\
4u - 3v = 1
\end{cases}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình này theo \(u\) và \(v\).

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
v = 3 - 2u
\]

Thay \(v\) vào phương trình thứ hai:

\[
4u - 3(3 - 2u) = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
4u - 9 + 6u = 1 \\
10u - 9 = 1 \\
10u = 10 \\
u = 1
\]

Thay \(u = 1\) vào phương trình \(v = 3 - 2u\):

\[
v = 3 - 2 \cdot 1 = 1
\]

Vậy chúng ta có \(u = 1\) và \(v = 1\). Bây giờ, ta trở lại với biến ban đầu:

\[
u = \frac{1}{x-2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]

\[
v = \frac{1}{y+1} = 1 \quad \Rightarrow \quad y + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (3, 0)
\]