Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{3}{x+1} + \frac{2}{y+4} = \frac{7}{5} \\
\frac{2}{x+1} + \frac{5}{y+4} = \frac{5}{3}
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Đặt \( u = \frac{1}{x+1} \) và \( v = \frac{1}{y+4} \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
3u + 2v = \frac{7}{5} \\
2u + 5v = \frac{5}{3}
\end{cases}
\]

2. Giải hệ phương trình tuyến tính này để tìm \( u \) và \( v \).

Trước tiên, nhân phương trình đầu tiên với 5 và phương trình thứ hai với 3 để loại bỏ mẫu số:

\[
\begin{cases}
15u + 10v = 7 \\
6u + 15v = 5
\end{cases}
\]

3. Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số. Nhân phương trình đầu tiên với 3 và phương trình thứ hai với 5:

\[
\begin{cases}
45u + 30v = 21 \\
30u + 75v = 25
\end{cases}
\]

4. Trừ phương trình thứ hai cho phương trình đầu tiên:

\[
(30u + 75v) - (45u + 30v) = 25 - 21
\]

\[
-15u + 45v = 4
\]

\[
-15u = 4 - 45v
\]

\[
u = \frac{4 - 45v}{-15}
\]

\[
u = 3v - \frac{4}{15}
\]

5. Thay \( u = 3v - \frac{4}{15} \) vào một trong hai phương trình ban đầu, chẳng hạn phương trình đầu tiên:

\[
15(3v - \frac{4}{15}) + 10v = 7
\]

\[
45v - 4 + 10v = 7
\]

\[
55v - 4 = 7
\]

\[
55v = 11
\]

\[
v = \frac{1}{5}
\]

6. Thay \( v = \frac{1}{5} \) vào \( u = 3v - \frac{4}{15} \):

\[
u = 3 \cdot \frac{1}{5} - \frac{4}{15}
\]

\[
u = \frac{3}{5} - \frac{4}{15}
\]

\[
u = \frac{9}{15} - \frac{4}{15}
\]

\[
u = \frac{5}{15}
\]

\[
u = \frac{1}{3}
\]

7. Bây giờ, ta có \( u = \frac{1}{3} \) và \( v = \frac{1}{5} \). Quay lại biến đổi ban đầu:

\[
u = \frac{1}{x+1} \Rightarrow \frac{1}{x+1} = \frac{1}{3} \Rightarrow x+1 = 3 \Rightarrow x = 2
\]

\[
v = \frac{1}{y+4} \Rightarrow \frac{1}{y+4} = \frac{1}{5} \Rightarrow y+4 = 5 \Rightarrow y = 1
\]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( x = 2 \) và \( y = 1 \).