Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác, đường cao và các định lý đồng dạng, góc và hình chiếu. Dưới đây là các bước chi tiết để giải quyết từng phần của bài toán:

**a) Chứng minh tam giác AFC đồng dạng với tam giác AEB:**

- Xét tam giác AFC và tam giác AEB:
- Góc \( \angle AFC \) và \( \angle AEB \) đều là góc vuông (do BE và CF là đường cao).
- Góc \( \angle FAC \) và \( \angle BAE \) là góc chung của hai tam giác.

Do đó, theo định lý đồng dạng góc-góc (AA), ta có:
\[ \triangle AFC \sim \triangle AEB \]

**b) Chứng minh \( \angle AFE = \angle ACB \):**

- Từ phần a, ta đã chứng minh được \( \triangle AFC \sim \triangle AEB \).
- Do đó, các góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng sẽ bằng nhau:
- \( \angle AFE \) tương ứng với \( \angle ACB \).

Vậy:
\[ \angle AFE = \angle ACB \]

**c) AH cắt BC tại D. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh: EF // MN:**

- Gọi \( D \) là giao điểm của \( AH \) và \( BC \).
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \) và \( AC \).
- Ta cần chứng minh \( EF \parallel MN \).

Xét tứ giác \( BDFE \) và \( CDFN \):
- \( \angle BDF = \angle BMF = 90^\circ \) (do \( M \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AB \)).
- \( \angle CDF = \angle CNF = 90^\circ \) (do \( N \) là hình chiếu của \( D \) trên \( AC \)).

Do đó, \( BDFE \) và \( CDFN \) là các tứ giác nội tiếp đường tròn. Vì vậy, \( EF \parallel MN \) (theo tính chất của tứ giác nội tiếp).

**d) AH cắt EF, MN lần lượt tại G và K. Chứng minh K là trung điểm của GD:**

- Gọi \( G \) là giao điểm của \( AH \) và \( EF \).
- Gọi \( K \) là giao điểm của \( AH \) và \( MN \).

Ta cần chứng minh \( K \) là trung điểm của \( GD \).

- Vì \( EF \parallel MN \) (theo phần c), nên \( \triangle AEF \) và \( \triangle AMN \) đồng dạng.
- Do đó, \( \frac{AE}{AM} = \frac{AF}{AN} \).

Xét tam giác \( AEF \) và tam giác \( AMN \):
- \( G \) là giao điểm của \( AH \) và \( EF \), \( K \) là giao điểm của \( AH \) và \( MN \).
- Do \( EF \parallel MN \), nên \( G \) và \( K \) chia \( AH \) theo cùng tỉ lệ.

Vì vậy, \( K \) là trung điểm của \( GD \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.