Để giải quyết các câu c và d, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và các kết quả đã chứng minh ở các phần trước.

### Câu c:
AH cắt BC tại D. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC.

Để tìm M và N, ta cần xác định vị trí của D trên BC. Vì AH là đường cao từ A đến BC, nên D là chân đường cao từ A đến BC. Do đó, D là điểm mà AH cắt BC.

M là hình chiếu của D trên AB, tức là đường vuông góc từ D đến AB cắt AB tại M.
N là hình chiếu của D trên AC, tức là đường vuông góc từ D đến AC cắt AC tại N.

### Câu d:
AH cắt EF, MN lần lượt tại G và K. Chứng minh K là trung điểm của GD.

Để chứng minh K là trung điểm của GD, ta cần chứng minh rằng \( GK = KD \).

1. **Xét tam giác AEF:**
- Vì BE và CF là các đường cao, nên H là trực tâm của tam giác ABC.
- Do đó, AH là đường cao từ A đến BC và cũng là đường cao từ H đến EF trong tam giác AEF.

2. **Xét điểm G:**
- G là giao điểm của AH và EF.
- Vì AH là đường cao từ A đến BC, nên G cũng là điểm mà AH cắt EF tại trung điểm của EF (do tính chất của trực tâm).

3. **Xét điểm K:**
- K là giao điểm của AH và MN.
- Vì M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABD và tam giác ACD.

4. **Chứng minh K là trung điểm của GD:**
- Do MN là đường trung bình của tam giác ABD và tam giác ACD, nên MN song song với BC và bằng một nửa BC.
- AH cắt MN tại K, và vì MN là đường trung bình, nên K là trung điểm của đoạn thẳng nối từ D đến điểm mà AH cắt BC (tức là D).

Vậy, K là trung điểm của GD.

Hy vọng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh các phần còn lại của bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, bạn có thể hỏi thêm để được giải đáp chi tiết hơn.