Để chứng minh \( BC = \frac{3}{2} BD \), ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng đi qua điểm \( D \).

Trước hết, ta cần xác định vị trí của điểm \( D \) trên cạnh \( AC \). Theo đề bài, \( AD = 4 \) cm và \( AC = 9 \) cm, do đó \( DC = AC - AD = 9 - 4 = 5 \) cm.

Bây giờ, ta áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng đi qua điểm \( D \) cắt cạnh \( AC \) tại \( D \):

Định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng đi qua điểm \( D \) cho ta:
\[
\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{BD}{DA} = 1
\]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[
\frac{4}{5} \cdot \frac{CB}{6} \cdot \frac{BD}{BD} = 1
\]

Lưu ý rằng \( \frac{BD}{BD} = 1 \), do đó phương trình trở thành:
\[
\frac{4}{5} \cdot \frac{CB}{6} = 1
\]

Giải phương trình này để tìm \( CB \):
\[
\frac{4}{5} \cdot \frac{CB}{6} = 1
\]

Nhân cả hai vế với 30 để loại bỏ mẫu số:
\[
4 \cdot CB = 30
\]

Chia cả hai vế cho 4:
\[
CB = \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}
\]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \( BC = \frac{3}{2} BD \). Từ định lý Menelaus, ta đã biết \( CB = 7.5 \) cm. Để tìm \( BD \), ta sử dụng lại định lý Menelaus:

\[
\frac{4}{5} \cdot \frac{7.5}{6} = 1
\]

Nhân cả hai vế với 5:
\[
4 \cdot \frac{7.5}{6} = 5
\]

Chia cả hai vế cho 4:
\[
\frac{7.5}{6} = \frac{5}{4}
\]

Nhân cả hai vế với 6:
\[
7.5 = \frac{5}{4} \cdot 6
\]

Chia cả hai vế cho 7.5:
\[
BD = \frac{7.5 \cdot 4}{5} = 6 \text{ cm}
\]

Cuối cùng, ta kiểm tra lại:
\[
BC = \frac{3}{2} BD = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9 \text{ cm}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( BC = \frac{3}{2} BD \).