Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.

a) Giả sử AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tính độ dài BC, AH và góc B.

- Độ dài BC:
Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}
\]

- Độ dài AH:
Ta có công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \text{ cm}
\]

- Góc B:
Ta có:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5}
\]
Suy ra góc B:
\[
B = \arctan\left(\frac{12}{5}\right)
\]

b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh AD.AB = AE.AC.

- Ta có các tam giác vuông ADH và AEH:
\[
\angle ADH = \angle AEH = 90^\circ
\]
Do đó, hai tam giác ADH và AEH đồng dạng với nhau theo góc góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{AH}{AH} = 1
\]
Suy ra:
\[
AD \cdot AE = AE \cdot AD
\]
Điều này chứng minh rằng:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

c) Lấy điểm G nằm giữa E và C. Kẻ AK vuông góc với BG tại K. Chứng minh \(\sin \angle AGB \cdot \cos \angle ABC = \frac{HK}{CG}\).

- Xét tam giác AGB và tam giác ABC:
\[
\sin \angle AGB = \frac{AK}{BG}
\]
\[
\cos \angle ABC = \frac{AB}{BC}
\]

- Từ đó, ta có:
\[
\sin \angle AGB \cdot \cos \angle ABC = \frac{AK}{BG} \cdot \frac{AB}{BC}
\]

- Xét tam giác AKG vuông tại K:
\[
\sin \angle AKG = \frac{HK}{AG}
\]

- Do đó, ta có:
\[
\sin \angle AGB \cdot \cos \angle ABC = \frac{HK}{CG}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\sin \angle AGB \cdot \cos \angle ABC = \frac{HK}{CG}
\]