Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\). Gọi \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BE\) và \(CD\). Gọi \(I\) và \(K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD\) và \(CE\).

**a) Chứng minh \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(BED\):**

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BE\), ta có \(BM = ME\).
- Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\), ta có \(CN = ND\).
- Xét tam giác \(BED\), \(M\) là trung điểm của \(BE\) và \(I\) là giao điểm của \(MN\) với \(BD\).

Do đó, \(MI\) nối trung điểm của hai cạnh \(BE\) và \(BD\) của tam giác \(BED\), nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(BED\).

**b) Chứng minh \(MI = IK = KN\):**

- Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BE\) và \(CD\), ta có:
\[
BM = ME \quad \text{và} \quad CN = ND.
\]

- Xét tam giác \(BCD\), \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(BE\) và \(CD\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Do đó, \(MN\) song song với \(ED\) và \(MN = \frac{1}{2}ED\).

- Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) với \(BD\) và \(K\) là giao điểm của \(MN\) với \(CE\). Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\), nên \(I\) và \(K\) chia \(MN\) thành ba đoạn bằng nhau.

- Do đó, ta có:
\[
MI = IK = KN = \frac{1}{3}MN.
\]

Vậy, \(MI = IK = KN\).