Để tìm giá trị của \( y \) thỏa mãn phương trình \( 49( y - 4 )^2 - 9( y + 2 )^2 = 0 \), ta thực hiện các bước sau:

1. Đầu tiên, ta khai triển các biểu thức trong phương trình:
\[
49(y - 4)^2 - 9(y + 2)^2 = 0
\]

2. Khai triển từng biểu thức:
\[
(y - 4)^2 = y^2 - 8y + 16
\]
\[
(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4
\]

3. Thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình ban đầu:
\[
49(y^2 - 8y + 16) - 9(y^2 + 4y + 4) = 0
\]

4. Nhân các hệ số vào:
\[
49y^2 - 392y + 784 - 9y^2 - 36y - 36 = 0
\]

5. Gom các hạng tử giống nhau:
\[
(49y^2 - 9y^2) + (-392y - 36y) + (784 - 36) = 0
\]
\[
40y^2 - 428y + 748 = 0
\]

6. Đơn giản hóa phương trình:
\[
40y^2 - 428y + 748 = 0
\]

7. Chia cả hai vế của phương trình cho 4 để đơn giản hơn:
\[
10y^2 - 107y + 187 = 0
\]

8. Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Ở đây, \( a = 10 \), \( b = -107 \), và \( c = 187 \).

9. Tính toán các giá trị:
\[
b^2 - 4ac = (-107)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 187 = 11449 - 7480 = 3969
\]
\[
\sqrt{3969} = 63
\]

10. Thay vào công thức nghiệm:
\[
y = \frac{107 \pm 63}{20}
\]

11. Tính hai nghiệm:
\[
y_1 = \frac{107 + 63}{20} = \frac{170}{20} = 8.5
\]
\[
y_2 = \frac{107 - 63}{20} = \frac{44}{20} = 2.2
\]

Vậy, hai giá trị của \( y \) thỏa mãn phương trình là \( y = 8.5 \) và \( y = 2.2 \).