Để giải phương trình \( mx + m - (m+2)x = m^2 - 2x \) và tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để phương trình có tập nghiệm là \( \mathbb{R} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình:**
\[
mx + m - (m+2)x = m^2 - 2x
\]
\[
mx + m - mx - 2x = m^2 - 2x
\]
\[
m - 2x = m^2 - 2x
\]

2. **Rút gọn phương trình:**
\[
m - 2x = m^2 - 2x
\]
\[
m = m^2
\]

3. **Giải phương trình \( m = m^2 \):**
\[
m^2 - m = 0
\]
\[
m(m - 1) = 0
\]
\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = 1
\]

4. **Kiểm tra điều kiện để phương trình có tập nghiệm là \( \mathbb{R} \):**

- Với \( m = 0 \):
\[
0x + 0 - (0+2)x = 0^2 - 2x
\]
\[
-2x = -2x
\]
Phương trình đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

- Với \( m = 1 \):
\[
1x + 1 - (1+2)x = 1^2 - 2x
\]
\[
x + 1 - 3x = 1 - 2x
\]
\[
-2x + 1 = 1 - 2x
\]
Phương trình đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Do đó, các giá trị của \( m \) để phương trình có tập nghiệm là \( \mathbb{R} \) là \( m = 0 \) và \( m = 1 \).

5. **Tính tổng các phần tử của \( S \):**
\[
S = \{0, 1\}
\]
\[
\text{Tổng các phần tử của } S = 0 + 1 = 1
\]

Vậy, tổng tất cả các phần tử của \( S \) là \( \boxed{1} \).