Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Tính diện tích tam giác ABC

Diện tích của tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} \]

Trong đó, đáy là cạnh BC và chiều cao tương ứng là AH. Do đó:
\[ \text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2} \text{ cm}^2 \]

### b. So sánh diện tích tam giác BMD và tam giác CME

Để so sánh diện tích của hai tam giác BMD và CME, ta cần sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến trung điểm và giao điểm của các đường trung tuyến.

1. **Trung điểm và đường trung tuyến**:
- D là trung điểm của AB.
- E là trung điểm của AC.
- BE và CD là các đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại M, là trọng tâm của tam giác ABC.

2. **Tính chất của trọng tâm**:
- Trọng tâm M chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài của đường trung tuyến, và đoạn từ trọng tâm đến cạnh bằng 1/3 độ dài của đường trung tuyến.

3. **Diện tích các tam giác nhỏ**:
- Trọng tâm M chia tam giác ABC thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
- Do đó, diện tích của mỗi tam giác nhỏ là:
\[ \text{Diện tích mỗi tam giác nhỏ} = \frac{\text{Diện tích tam giác ABC}}{6} = \frac{\frac{15}{2}}{6} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \text{ cm}^2 \]

4. **Diện tích tam giác BMD và tam giác CME**:
- Tam giác BMD và tam giác CME đều là hai trong số 6 tam giác nhỏ được tạo ra bởi các đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm M.
- Do đó, diện tích của tam giác BMD và tam giác CME đều bằng diện tích của một trong các tam giác nhỏ.

Vậy, diện tích của tam giác BMD bằng diện tích của tam giác CME, và cả hai đều bằng \(\frac{5}{4} \text{ cm}^2\).

### Kết luận:
- Diện tích tam giác ABC là \(\frac{15}{2} \text{ cm}^2\).
- Diện tích của tam giác BMD bằng diện tích của tam giác CME, và cả hai đều bằng \(\frac{5}{4} \text{ cm}^2\).