Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \) với \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a + b + c = 1 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương \( a, b, c \), ta có:

\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) (a + b + c) \geq (1 + 1 + 1)^2
\]

Biết rằng \( a + b + c = 1 \), ta thay vào bất đẳng thức trên:

\[
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \cdot 1 \geq 3^2
\]

Điều này dẫn đến:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \) khi \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a + b + c = 1 \).