Để tính nhanh biểu thức \( P = \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \frac{2}{9 \cdot 11} + \frac{2}{11 \cdot 13} + \frac{2}{13 \cdot 15} \), ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số đơn giản hơn.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng mỗi phân số trong biểu thức có dạng:
\[ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} \]

Ta có thể phân tích phân số này thành:
\[ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} \]

Để tìm \( A \) và \( B \), ta giải phương trình:
\[ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A(2n+3) + B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} \]

Từ đó, ta có:
\[ 2 = A(2n+3) + B(2n+1) \]

Giải hệ phương trình này:
1. \( 2 = 2An + 3A + 2Bn + B \)
2. \( 2 = (2A + 2B)n + (3A + B) \)

So sánh hệ số của \( n \) và hệ số tự do, ta có:
\[ 2A + 2B = 0 \]
\[ 3A + B = 2 \]

Giải hệ phương trình này:
1. \( 2A + 2B = 0 \) \(\Rightarrow\) \( A + B = 0 \) \(\Rightarrow\) \( B = -A \)
2. Thay \( B = -A \) vào phương trình \( 3A + B = 2 \):
\[ 3A - A = 2 \]
\[ 2A = 2 \]
\[ A = 1 \]
\[ B = -1 \]

Vậy:
\[ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \]

Áp dụng vào biểu thức \( P \):
\[ P = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right) \]

Ta thấy rằng các số hạng trung gian triệt tiêu lẫn nhau:
\[ P = \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \]

Tính toán giá trị cuối cùng:
\[ P = \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} - \frac{1}{15} = \frac{4}{15} \]

Vậy:
\[ P = \frac{4}{15} \]