Điều tra 120 người nghiện chích ma tuý có 48 người bị viêm gan siêu vi C

Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức thống kê liên quan đến ước lượng tỷ lệ và kích thước mẫu.

### Câu a: Ước lượng tỷ lệ bệnh sốt rét p ở đồng bằng sông Cửu Long với độ tin cậy 95%

Để ước lượng tỷ lệ \( p \) với độ tin cậy 95%, chúng ta sử dụng công thức cho khoảng tin cậy của tỷ lệ:

\[ \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

Trong đó:
- \(\hat{p}\) là tỷ lệ mẫu.
- \(Z_{\alpha/2}\) là giá trị Z tương ứng với mức độ tin cậy 95%. Với độ tin cậy 95%, \(Z_{\alpha/2} \approx 1.96\).
- \(n\) là kích thước mẫu.

Từ dữ liệu, chúng ta có:
- Số người bị viêm gan siêu vi C: 48
- Tổng số người được điều tra: 120

Do đó, tỷ lệ mẫu \(\hat{p}\) là:

\[ \hat{p} = \frac{48}{120} = 0.4 \]

Áp dụng công thức:

\[ 0.4 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.4 \times (1 - 0.4)}{120}} \]

Tính toán phần trong căn:

\[ \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{120}} = \sqrt{\frac{0.24}{120}} = \sqrt{0.002} \approx 0.0447 \]

Nhân với 1.96:

\[ 1.96 \times 0.0447 \approx 0.0876 \]

Do đó, khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ \( p \) là:

\[ 0.4 \pm 0.0876 \]

Hay:

\[ (0.3124, 0.4876) \]

### Câu b: Để sai số ước lượng tỷ lệ người nghiện chích ma túy bị viêm gan siêu vi C không quá 5%, độ tin cậy 95% thì phải điều tra ít nhất bao nhiêu người?

Để xác định kích thước mẫu \( n \) cần thiết, chúng ta sử dụng công thức:

\[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \hat{p}(1 - \hat{p})}{E^2} \]

Trong đó:
- \(Z_{\alpha/2}\) là giá trị Z tương ứng với mức độ tin cậy 95%, \(Z_{\alpha/2} \approx 1.96\).
- \(\hat{p}\) là tỷ lệ mẫu, ở đây là 0.4.
- \(E\) là sai số mong muốn, ở đây là 0.05.

Áp dụng công thức:

\[ n = \frac{(1.96)^2 \times 0.4 \times 0.6}{(0.05)^2} \]

Tính toán:

\[ n = \frac{3.8416 \times 0.24}{0.0025} \]

\[ n = \frac{0.921984}{0.0025} \]

\[ n \approx 368.79 \]

Vì kích thước mẫu phải là số nguyên, chúng ta làm tròn lên:

\[ n \approx 369 \]

Do đó, để sai số ước lượng không quá 5% với độ tin cậy 95%, cần điều tra ít nhất 369 người.