Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng bước một.

### Bước 1: Tính các kích thước của căn phòng

Giả sử chiều dài của căn phòng là \( l \), chiều rộng là \( w \), và chiều cao là \( h \).

Theo đề bài:
- Chu vi của căn phòng là 30.
- Chiều rộng bằng \( \frac{2}{3} \) chiều dài.
- Chiều cao bằng \( \frac{3}{5} \) chiều rộng.

#### Tìm chiều dài và chiều rộng

Chu vi của căn phòng là:
\[ 2(l + w) = 30 \]
\[ l + w = 15 \]

Chiều rộng \( w \) bằng \( \frac{2}{3} \) chiều dài \( l \):
\[ w = \frac{2}{3}l \]

Thay \( w \) vào phương trình chu vi:
\[ l + \frac{2}{3}l = 15 \]
\[ \frac{5}{3}l = 15 \]
\[ l = 9 \]

Từ đó, chiều rộng \( w \) là:
\[ w = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \]

#### Tìm chiều cao

Chiều cao \( h \) bằng \( \frac{3}{5} \) chiều rộng \( w \):
\[ h = \frac{3}{5} \times 6 = 3.6 \]

### Bước 2: Tính diện tích nền nhà

Diện tích nền nhà là:
\[ S_{\text{nền}} = l \times w = 9 \times 6 = 54 \, \text{m}^2 \]

### Bước 3: Tính diện tích tường và trần

#### Diện tích tường

Căn phòng có 4 bức tường, diện tích của mỗi bức tường là:
- Hai bức tường có diện tích: \( l \times h \)
- Hai bức tường có diện tích: \( w \times h \)

Tổng diện tích tường là:
\[ S_{\text{tường}} = 2(l \times h) + 2(w \times h) \]
\[ S_{\text{tường}} = 2(9 \times 3.6) + 2(6 \times 3.6) \]
\[ S_{\text{tường}} = 2(32.4) + 2(21.6) \]
\[ S_{\text{tường}} = 64.8 + 43.2 = 108 \, \text{m}^2 \]

#### Diện tích trần

Diện tích trần bằng diện tích nền nhà:
\[ S_{\text{trần}} = 54 \, \text{m}^2 \]

#### Tổng diện tích cần sơn

Tổng diện tích cần sơn là diện tích tường và trần trừ đi diện tích các cửa:
\[ S_{\text{cần sơn}} = S_{\text{tường}} + S_{\text{trần}} - S_{\text{cửa}} \]
\[ S_{\text{cần sơn}} = 108 + 54 - 12 = 150 \, \text{m}^2 \]

### Bước 4: Tính số thùng sơn cần dùng

Mỗi thùng sơn loại 5 kg sơn được 15 m² tường:
\[ \text{Số thùng sơn cần dùng} = \frac{S_{\text{cần sơn}}}{15} \]
\[ \text{Số thùng sơn cần dùng} = \frac{150}{15} = 10 \, \text{thùng} \]

### Kết quả

a) Diện tích nền nhà của căn phòng là 54 m².

b) Cần 10 thùng sơn loại 5 kg để sơn toàn bộ tường và trần phòng.