Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 3(x^2 + y^2) \) với điều kiện \( (x + y)^2 = 3xy + 12 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích điều kiện:**
\[
(x + y)^2 = 3xy + 12
\]
Ta khai triển vế trái:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = 3xy + 12
\]
Chuyển \( 3xy \) sang vế trái:
\[
x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = 12
\]
Đơn giản hóa:
\[
x^2 - xy + y^2 = 12
\]

2. **Biểu thức cần tìm:**
\[
A = 3(x^2 + y^2)
\]
Từ điều kiện \( x^2 - xy + y^2 = 12 \), ta có:
\[
x^2 + y^2 = 12 + xy
\]
Thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = 3(x^2 + y^2) = 3(12 + xy) = 36 + 3xy
\]

3. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \):**
Để \( A \) nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( 3xy \). Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
(x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x + y)^2
\]
\[
2(x^2 + y^2) \geq (x + y)^2
\]
Từ điều kiện \( (x + y)^2 = 3xy + 12 \), ta có:
\[
2(x^2 + y^2) \geq 3xy + 12
\]
Thay \( x^2 + y^2 = 12 + xy \) vào:
\[
2(12 + xy) \geq 3xy + 12
\]
\[
24 + 2xy \geq 3xy + 12
\]
\[
24 - 12 \geq xy
\]
\[
12 \geq xy
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( 3xy \) là khi \( xy \) nhỏ nhất. Từ bất đẳng thức trên, \( xy \) có thể nhỏ nhất là 0 (trong trường hợp \( x \) hoặc \( y \) bằng 0).

Tuy nhiên, nếu \( xy = 0 \), thì \( x \) hoặc \( y \) phải bằng 0, điều này không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Vì vậy, ta cần tìm giá trị \( xy \) sao cho \( A \) nhỏ nhất.

Khi \( xy = 0 \), ta có:
\[
A = 36 + 3 \cdot 0 = 36
\]

4. **Kết luận:**
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 3(x^2 + y^2) \) là \( 36 \).