Để tìm tổng của tất cả các số nằm giữa \( n^2 - n + 1 \) và \( n^2 + n + 1 \), ta cần xác định các số nguyên nằm trong khoảng này và sau đó tính tổng của chúng.

Các số nguyên nằm giữa \( n^2 - n + 1 \) và \( n^2 + n + 1 \) là:
\[ n^2 - n + 2, n^2 - n + 3, \ldots, n^2 + n \]

Để dễ dàng tính tổng, ta xác định dãy số này là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu tiên \( a = n^2 - n + 2 \)
- Số hạng cuối cùng \( l = n^2 + n \)
- Công sai \( d = 1 \)

Số lượng các số hạng trong dãy này là:
\[ l - a + 1 = (n^2 + n) - (n^2 - n + 2) + 1 = 2n - 1 \]

Tổng của một cấp số cộng có \( k \) số hạng được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{k}{2} \times (a + l) \]

Áp dụng công thức trên:
\[ k = 2n - 1 \]
\[ a = n^2 - n + 2 \]
\[ l = n^2 + n \]

Tổng của dãy số là:
\[ S = \frac{2n - 1}{2} \times ( (n^2 - n + 2) + (n^2 + n) ) \]
\[ S = \frac{2n - 1}{2} \times (2n^2 + 2) \]
\[ S = (2n - 1) \times (n^2 + 1) \]
\[ S = 2n(n^2 + 1) - (n^2 + 1) \]
\[ S = 2n^3 + 2n - n^2 - 1 \]

Vậy tổng của tất cả các số nằm giữa \( n^2 - n + 1 \) và \( n^2 + n + 1 \) là:
\[ 2n^3 - n^2 + 2n - 1 \]