Để tính các biểu thức trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận.

### a. \( 17201720 : 2,7 + 2,7 : 1,35 + (0,4 : 212212) \cdot (4,2 - 13401340) \)

1. Tính \( 17201720 : 2,7 \):
\[
17201720 : 2,7 = 6371000
\]

2. Tính \( 2,7 : 1,35 \):
\[
2,7 : 1,35 = 2
\]

3. Tính \( 0,4 : 212212 \):
\[
0,4 : 212212 \approx 1.885 \times 10^{-6}
\]

4. Tính \( 4,2 - 13401340 \):
\[
4,2 - 13401340 = -13401335,8
\]

5. Tính \( (0,4 : 212212) \cdot (4,2 - 13401340) \):
\[
1.885 \times 10^{-6} \cdot (-13401335,8) \approx -25,25
\]

6. Tổng hợp lại:
\[
6371000 + 2 - 25,25 = 6369976,75
\]

### b. \( (635 - 3314) \cdot 556 : (21 - 1,25) : 2,5 \)

1. Tính \( 635 - 3314 \):
\[
635 - 3314 = -2679
\]

2. Tính \( -2679 \cdot 556 \):
\[
-2679 \cdot 556 = -1489444
\]

3. Tính \( 21 - 1,25 \):
\[
21 - 1,25 = 19,75
\]

4. Tính \( -1489444 : 19,75 \):
\[
-1489444 : 19,75 \approx -75450,38
\]

5. Tính \( -75450,38 : 2,5 \):
\[
-75450,38 : 2,5 \approx -30180,15
\]

### c. \( 0,125 - 15 + 170,375 - 35 + 37 + 12 + 13 - 0,234 + 0,5 - 310 \)

1. Tính các số dương:
\[
0,125 + 170,375 + 37 + 12 + 13 + 0,5 = 233,0
\]

2. Tính các số âm:
\[
-15 - 35 - 0,234 - 310 = -360,234
\]

3. Tổng hợp lại:
\[
233,0 - 360,234 = -127,234
\]

### Kết quả cuối cùng:
a. \( 6369976,75 \)

b. \( -30180,15 \)

c. \( -127,234 \)