Để chứng minh \( abc \leq \frac{1}{8} \) với các số dương \( a, b, c \) thỏa mãn \( \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 2 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM và một số biến đổi đại số.

Đầu tiên, ta đặt:
\[ x = \frac{1}{1+a}, \quad y = \frac{1}{1+b}, \quad z = \frac{1}{1+c} \]

Theo giả thiết, ta có:
\[ x + y + z = 2 \]

Vì \( x = \frac{1}{1+a} \), ta có:
\[ 1 + a = \frac{1}{x} \implies a = \frac{1}{x} - 1 \]

Tương tự, ta có:
\[ b = \frac{1}{y} - 1 \]
\[ c = \frac{1}{z} - 1 \]

Do đó:
\[ abc = \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \left( \frac{1}{y} - 1 \right) \left( \frac{1}{z} - 1 \right) \]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh bất đẳng thức này.

Ta biết rằng \( x, y, z \) là các số dương và \( x + y + z = 2 \). Do đó, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \]

Thay \( x + y + z = 2 \) vào, ta được:
\[ \frac{2}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \]

Nâng cả hai vế lên lũy thừa 3, ta có:
\[ \left( \frac{2}{3} \right)^3 \geq xyz \]
\[ \frac{8}{27} \geq xyz \]

Do đó:
\[ xyz \leq \frac{8}{27} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh:
\[ abc \leq \frac{1}{8} \]

Ta có:
\[ abc = \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \left( \frac{1}{y} - 1 \right) \left( \frac{1}{z} - 1 \right) \]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho \( \frac{1}{x} - 1, \frac{1}{y} - 1, \frac{1}{z} - 1 \), ta có:
\[ \frac{\frac{1}{x} - 1 + \frac{1}{y} - 1 + \frac{1}{z} - 1}{3} \geq \sqrt[3]{\left( \frac{1}{x} - 1 \right) \left( \frac{1}{y} - 1 \right) \left( \frac{1}{z} - 1 \right)} \]

Ta biết rằng:
\[ \frac{1}{x} - 1 + \frac{1}{y} - 1 + \frac{1}{z} - 1 = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) - 3 \]

Sử dụng bất đẳng thức AM-HM cho \( x, y, z \), ta có:
\[ \frac{x + y + z}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \]
\[ \frac{2}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \]
\[ \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \geq 3 \]
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{2} \]

Do đó:
\[ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) - 3 \geq \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} \]

Suy ra:
\[ \frac{\frac{1}{x} - 1 + \frac{1}{y} - 1 + \frac{1}{z} - 1}{3} \geq \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{1}{2} \]

Do đó:
\[ \sqrt[3]{\left( \frac{1}{x} - 1 \right) \left( \frac{1}{y} - 1 \right) \left( \frac{1}{z} - 1 \right)} \leq \frac{1}{2} \]

Nâng cả hai vế lên lũy thừa 3, ta có:
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 \geq \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \left( \frac{1}{y} - 1 \right) \left( \frac{1}{z} - 1 \right) \]
\[ \frac{1}{8} \geq abc \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[ abc \leq \frac{1}{8} \]