Để tìm đa thức \( f(x) \) biết \( f(x-1) = x^3 + 3x + 1 \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Đặt \( t = x - 1 \). Khi đó, \( x = t + 1 \).
2. Thay \( x = t + 1 \) vào phương trình \( f(x-1) = x^3 + 3x + 1 \).

Ta có:
\[ f(t) = (t+1)^3 + 3(t+1) + 1 \]

Bây giờ, ta khai triển biểu thức bên phải:
\[ (t+1)^3 = t^3 + 3t^2 + 3t + 1 \]
\[ 3(t+1) = 3t + 3 \]

Do đó:
\[ f(t) = t^3 + 3t^2 + 3t + 1 + 3t + 3 + 1 \]
\[ f(t) = t^3 + 3t^2 + 6t + 5 \]

Vì \( t = x - 1 \), nên ta thay lại \( t \) bằng \( x - 1 \):
\[ f(x) = (x-1)^3 + 3(x-1)^2 + 6(x-1) + 5 \]

Bây giờ, ta khai triển biểu thức này:
\[ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]
\[ 3(x-1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3 \]
\[ 6(x-1) = 6x - 6 \]

Do đó:
\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 3x^2 - 6x + 3 + 6x - 6 + 5 \]
\[ f(x) = x^3 + 3x - 1 + 3 - 6 + 5 \]
\[ f(x) = x^3 + 3x + 1 \]

Vậy, đa thức \( f(x) \) là:
\[ f(x) = x^3 + 3x + 1 \]