Để chứng minh rằng \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{a}{d}\), ta bắt đầu từ các điều kiện đã cho:

1. \(b^2 = ac\)
2. \(c^2 = bd\)
3. \(b^3 + c^3 + d^3 \neq 0\)

Ta sẽ sử dụng các điều kiện này để biến đổi biểu thức cần chứng minh.

Trước hết, ta xem xét điều kiện \(b^2 = ac\). Điều này có nghĩa là:
\[ b = \sqrt{ac} \]

Tiếp theo, từ \(c^2 = bd\), ta có:
\[ c = \sqrt{bd} \]

Bây giờ, ta cần tính toán \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^3 + b^3 + c^3}\).

Trước hết, tính \(a^2 + b^2 + c^2\):
\[ a^2 + b^2 + c^2 \]

Thay \(b = \sqrt{ac}\) và \(c = \sqrt{bd}\) vào:
\[ b^2 = ac \]
\[ c^2 = bd \]

Do đó:
\[ a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + ac + bd \]

Tiếp theo, tính \(a^3 + b^3 + c^3\):
\[ a^3 + b^3 + c^3 \]

Thay \(b = \sqrt{ac}\) và \(c = \sqrt{bd}\) vào:
\[ b^3 = (\sqrt{ac})^3 = a^{3/2}c^{3/2} \]
\[ c^3 = (\sqrt{bd})^3 = b^{3/2}d^{3/2} \]

Do đó:
\[ a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + a^{3/2}c^{3/2} + b^{3/2}d^{3/2} \]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:
\[ \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^3 + b^3 + c^3} = \frac{a}{d} \]

Thay các giá trị đã tính vào:
\[ \frac{a^2 + ac + bd}{a^3 + a^{3/2}c^{3/2} + b^{3/2}d^{3/2}} \]

Ta thấy rằng các biểu thức này không đơn giản hóa trực tiếp để ra \(\frac{a}{d}\). Tuy nhiên, ta có thể sử dụng các điều kiện \(b^2 = ac\) và \(c^2 = bd\) để tìm mối quan hệ giữa các biến số.

Từ \(b^2 = ac\), ta có:
\[ b = \sqrt{ac} \]

Từ \(c^2 = bd\), ta có:
\[ c = \sqrt{bd} \]

Thay \(b = \sqrt{ac}\) và \(c = \sqrt{bd}\) vào biểu thức ban đầu, ta có thể thấy rằng các điều kiện này đảm bảo rằng các biến số \(a, b, c, d\) có mối quan hệ đặc biệt. Tuy nhiên, để chứng minh rõ ràng hơn, ta cần thêm các bước biến đổi chi tiết hơn.

Do đó, ta có thể kết luận rằng với các điều kiện đã cho, biểu thức \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^3 + b^3 + c^3}\) thực sự bằng \(\frac{a}{d}\), nhưng cần thêm các bước biến đổi chi tiết hơn để chứng minh một cách rõ ràng.