Cho tam giác \(ABC\) có diện tích \(S_{ABC} = 9 \, \text{cm}^2\) và cạnh \(BC = 6 \, \text{cm}\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM = 2MC\).

Ta có:
- \(BM = 2MC\)
- \(BM + MC = BC = 6 \, \text{cm}\)

Gọi \(MC = x\), thì \(BM = 2x\). Do đó:
\[ BM + MC = 2x + x = 3x = 6 \, \text{cm} \]
\[ x = 2 \, \text{cm} \]

Vậy:
\[ MC = 2 \, \text{cm} \]
\[ BM = 4 \, \text{cm} \]

Bây giờ, ta cần tính diện tích của các tam giác \(ABM\) và \(ACM\).

Diện tích tam giác \(ABC\) được chia thành hai phần bởi điểm \(M\) trên cạnh \(BC\). Vì \(BM = 2MC\), tỉ lệ diện tích của tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\) sẽ tương ứng với tỉ lệ độ dài của \(BM\) và \(MC\).

Tỉ lệ diện tích của tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\) là:
\[ \frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \frac{BM}{MC} = \frac{4}{2} = 2 \]

Gọi diện tích tam giác \(ACM\) là \(S_{ACM} = x \, \text{cm}^2\). Khi đó diện tích tam giác \(ABM\) là \(S_{ABM} = 2x \, \text{cm}^2\).

Tổng diện tích của tam giác \(ABC\) là:
\[ S_{ABC} = S_{ABM} + S_{ACM} = 2x + x = 3x \]

Do đó:
\[ 3x = 9 \]
\[ x = 3 \]

Vậy:
\[ S_{ACM} = 3 \, \text{cm}^2 \]
\[ S_{ABM} = 2x = 2 \times 3 = 6 \, \text{cm}^2 \]

Kết luận:
- Diện tích tam giác \(ABM\) là \(6 \, \text{cm}^2\).
- Diện tích tam giác \(ACM\) là \(3 \, \text{cm}^2\).