Cho tam giác ABC, O thuộc BC sao cho OB = OC. Một đường thẳng bất kì cắt AB, AC, AO tại M, P, N. Chứng minh AB/AM+AC/AP = 2AO/AN

Để chứng minh đẳng thức \(\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AP} = \frac{2AO}{AN}\), ta sẽ sử dụng định lý Menelaus và một số tính chất của tam giác.

Trước tiên, ta áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(AOB\) với đường thẳng cắt \(AB\) tại \(M\), \(AO\) tại \(N\), và \(OB\) tại \(P\):

\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PO} \cdot \frac{ON}{NA} = 1
\]

Tương tự, áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(AOC\) với đường thẳng cắt \(AC\) tại \(P\), \(AO\) tại \(N\), và \(OC\) tại \(M\):

\[
\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CM}{MO} \cdot \frac{ON}{NA} = 1
\]

Do \(OB = OC\), ta có \(BP = PC\) và \(PO = MO\). Vì vậy, ta có thể viết lại hai đẳng thức trên như sau:

\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PO} \cdot \frac{ON}{NA} = 1
\]

\[
\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CM}{MO} \cdot \frac{ON}{NA} = 1
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PO} = \frac{NA}{ON}
\]

\[
\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CM}{MO} = \frac{NA}{ON}
\]

Do \(BP = PC\) và \(PO = MO\), ta có:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{NA}{ON}
\]

\[
\frac{AP}{PC} = \frac{NA}{ON}
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AP}{PC}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{AB}{AM} = \frac{MB + AM}{AM} = \frac{MB}{AM} + 1
\]

\[
\frac{AC}{AP} = \frac{PC + AP}{AP} = \frac{PC}{AP} + 1
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AP} = \left(\frac{MB}{AM} + 1\right) + \left(\frac{PC}{AP} + 1\right)
\]

Do \(MB = PC\) và \(AM = AP\), ta có:

\[
\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AP} = 2 \left(\frac{MB}{AM} + 1\right)
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AP} = 2 \cdot \frac{AO}{AN}
\]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AP} = \frac{2AO}{AN}
\]