Chứng minh rằng tập hợp X cùng với phép toán T  là một nửa nhóm

Để chứng minh rằng tập hợp \( X \) cùng với phép toán \( T \) là một nửa nhóm, chúng ta cần chứng minh rằng phép toán \( T \) là kết hợp (associative). Nghĩa là, với mọi \( x, y, z \in X \), ta phải có:

\[ T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z)) \]

Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của phép toán \( T \). Theo đề bài, phép toán \( T \) được định nghĩa như sau:

\[ T(x, y) = x \quad \forall x, y \in X \]

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra tính kết hợp của phép toán \( T \).

1. Tính \( T(T(x, y), z) \):

\[ T(T(x, y), z) = T(x, z) \]

Theo định nghĩa của \( T \):

\[ T(x, z) = x \]

2. Tính \( T(x, T(y, z)) \):

\[ T(x, T(y, z)) = T(x, y) \]

Theo định nghĩa của \( T \):

\[ T(x, y) = x \]

Như vậy, ta có:

\[ T(T(x, y), z) = x \]
\[ T(x, T(y, z)) = x \]

Do đó:

\[ T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z)) \]

Vì \( T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z)) \) đúng với mọi \( x, y, z \in X \), nên phép toán \( T \) là kết hợp.

Kết luận: Tập hợp \( X \) cùng với phép toán \( T \) là một nửa nhóm.