Để tìm giá trị của \( n \) sao cho \( A \) là một số nguyên, ta có phương trình:

\[ A = \frac{n + 7}{n + 2} \]

Để \( A \) là một số nguyên, tử số \( n + 7 \) phải chia hết cho mẫu số \( n + 2 \). Điều này có nghĩa là:

\[ \frac{n + 7}{n + 2} = k \]

với \( k \) là một số nguyên. Từ đó, ta có:

\[ n + 7 = k(n + 2) \]

Giải phương trình này để tìm \( n \):

\[ n + 7 = kn + 2k \]

Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( n \) về một phía và các hạng tử còn lại về phía kia:

\[ n - kn = 2k - 7 \]

\[ n(1 - k) = 2k - 7 \]

\[ n = \frac{2k - 7}{1 - k} \]

Để \( n \) là một số nguyên, biểu thức \(\frac{2k - 7}{1 - k}\) phải là một số nguyên. Ta sẽ thử một số giá trị của \( k \) để tìm các giá trị nguyên của \( n \).

1. **Nếu \( k = 1 \)**:

\[ n = \frac{2(1) - 7}{1 - 1} \]

Biểu thức này không xác định vì mẫu số bằng 0.

2. **Nếu \( k = 2 \)**:

\[ n = \frac{2(2) - 7}{1 - 2} = \frac{4 - 7}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 \]

Vậy \( n = 3 \).

3. **Nếu \( k = 3 \)**:

\[ n = \frac{2(3) - 7}{1 - 3} = \frac{6 - 7}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \]

\( n \) không phải là số nguyên.

4. **Nếu \( k = -1 \)**:

\[ n = \frac{2(-1) - 7}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 7}{1 + 1} = \frac{-9}{2} = -\frac{9}{2} \]

\( n \) không phải là số nguyên.

5. **Nếu \( k = -2 \)**:

\[ n = \frac{2(-2) - 7}{1 - (-2)} = \frac{-4 - 7}{1 + 2} = \frac{-11}{3} \]

\( n \) không phải là số nguyên.

Từ các thử nghiệm trên, ta thấy rằng chỉ có \( k = 2 \) cho \( n \) là số nguyên. Vậy giá trị của \( n \) là:

\[ n = 3 \]

Vậy \( n = 3 \) là giá trị duy nhất sao cho \( A \) là một số nguyên.