Để phân tích các biểu thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như sau:

1. \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
2. \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức này để giải các bài toán cụ thể:

### 1) \(\frac{1}{27}a^3\)

Biểu thức này đã là một đơn thức và không thể phân tích thêm được nữa. Tuy nhiên, chúng ta có thể viết lại dưới dạng \( \left(\frac{a}{3}\right)^3 \).

### 2) \(8x^6 - 27y^3\)

Đây là hiệu của hai lập phương. Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:
\[ 8x^6 - 27y^3 = (2x^2)^3 - (3y)^3 \]

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) với \(a = 2x^2\) và \(b = 3y\):
\[ (2x^2)^3 - (3y)^3 = (2x^2 - 3y)((2x^2)^2 + 2x^2 \cdot 3y + (3y)^2) \]
\[ = (2x^2 - 3y)(4x^4 + 6x^2y + 9y^2) \]

### 3) \(8x^3 + 27y^3\)

Đây là tổng của hai lập phương. Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:
\[ 8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3 \]

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) với \(a = 2x\) và \(b = 3y\):
\[ (2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - 2x \cdot 3y + (3y)^2) \]
\[ = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) \]

### 4) \(\frac{1}{8}x^3 - 8\)

Đây là hiệu của hai lập phương. Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:
\[ \frac{1}{8}x^3 - 8 = \left(\frac{x}{2}\right)^3 - 2^3 \]

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) với \(a = \frac{x}{2}\) và \(b = 2\):
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^3 - 2^3 = \left(\frac{x}{2} - 2\right)\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \frac{x}{2} \cdot 2 + 2^2\right) \]
\[ = \left(\frac{x}{2} - 2\right)\left(\frac{x^2}{4} + x + 4\right) \]

### 5) \(\frac{1}{64}x^6 - 125y^3\)

Đây là hiệu của hai lập phương. Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:
\[ \frac{1}{64}x^6 - 125y^3 = \left(\frac{x^2}{4}\right)^3 - (5y)^3 \]

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) với \(a = \frac{x^2}{4}\) và \(b = 5y\):
\[ \left(\frac{x^2}{4}\right)^3 - (5y)^3 = \left(\frac{x^2}{4} - 5y\right)\left(\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 + \frac{x^2}{4} \cdot 5y + (5y)^2\right) \]
\[ = \left(\frac{x^2}{4} - 5y\right)\left(\frac{x^4}{16} + \frac{5x^2y}{4} + 25y^2\right) \]

Hy vọng các bước giải chi tiết trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách phân tích các biểu thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.