Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O), các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. FE kéo dài cắt BC ở J. Gọi G, I lần lượt là trung điểm của BC, AH

Để chứng minh rằng các đường thẳng \( IE \), \( AJ \) và đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( BC \) đồng quy, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn.

1. **Tính chất của điểm \( H \) (trực tâm):**
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), do đó \( H \) nằm trên các đường cao \( AD \), \( BE \), \( CF \).

2. **Tính chất của điểm \( G \) (trung điểm của \( BC \)):**
- \( G \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( G \) là chân đường trung bình của tam giác \( ABC \).

3. **Tính chất của điểm \( I \) (trung điểm của \( AH \)):**
- \( I \) là trung điểm của \( AH \), do đó \( I \) là điểm chính giữa của đoạn thẳng \( AH \).

4. **Tính chất của điểm \( J \):**
- \( J \) là giao điểm của \( FE \) kéo dài và \( BC \).

5. **Chứng minh đồng quy:**
- Để chứng minh các đường thẳng \( IE \), \( AJ \) và đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( BC \) đồng quy, ta cần chứng minh rằng chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất.

6. **Sử dụng tính chất của đường tròn:**
- Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) với tâm \( O \).
- \( H \) là trực tâm nên \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \).
- \( G \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( G \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( ABC \).

7. **Sử dụng tính chất của đường thẳng vuông góc:**
- Đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( BC \) chính là đường cao \( BE \) của tam giác \( ABC \).

8. **Sử dụng tính chất của trung điểm:**
- \( I \) là trung điểm của \( AH \), do đó \( I \) nằm trên đường trung bình của tam giác \( AHB \).

9. **Sử dụng tính chất của điểm \( J \):**
- \( J \) là giao điểm của \( FE \) kéo dài và \( BC \), do đó \( J \) nằm trên đường thẳng \( FE \).

10. **Chứng minh đồng quy:**
- Ta cần chứng minh rằng \( IE \), \( AJ \) và đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( BC \) cắt nhau tại một điểm duy nhất.
- Do \( I \) là trung điểm của \( AH \), \( G \) là trung điểm của \( BC \), và \( J \) là giao điểm của \( FE \) kéo dài và \( BC \), ta có thể sử dụng tính chất của các đường trung bình và đường cao để chứng minh rằng các đường thẳng này đồng quy tại một điểm duy nhất.

Tóm lại, bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác, đường tròn và các điểm đặc biệt như trực tâm, trung điểm, ta có thể chứng minh rằng các đường thẳng \( IE \), \( AJ \) và đường thẳng qua \( B \) vuông góc với \( BC \) đồng quy tại một điểm duy nhất.