Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

**a) Chứng minh tam giác AHB = tam giác AHC**

Tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC. Đường cao AH vuông góc với BC tại H, do đó AH là đường trung trực của BC.

Xét hai tam giác AHB và AHC:
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
- AH là cạnh chung
- HB = HC (do H là trung điểm của BC vì AH là đường trung trực của BC)

Vậy theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[ \triangle AHB = \triangle AHC \]

**b) Chứng minh AD = DH**

Do tam giác ABC cân tại A và AH là đường cao, nên AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ABC.

Xét tam giác AHB và AHC đã chứng minh bằng nhau ở phần a:
- AH là đường cao, nên H là trung điểm của BC.
- AD là đường trung tuyến từ A đến BC.

Do đó, AD = DH (vì H là trung điểm của BC và AD là đường trung tuyến).

**c) Gọi E là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh B, G, E thẳng hàng**

Gọi D là trung điểm của BC, do đó AD là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A, nên AD cũng là đường cao và đường phân giác.

Gọi E là trung điểm của AC. Vì tam giác ABC cân tại A, nên AE = EC.

Xét tam giác AHC và tam giác AHB đã chứng minh bằng nhau ở phần a:
- AD là đường trung tuyến và đường cao, nên AD = DH.

Gọi G là giao điểm của CD và AH. Vì CD là đường trung trực của BC và AH là đường cao của tam giác ABC, nên G là trung điểm của đoạn thẳng DH.

Do đó, G nằm trên đường trung trực của BC và cũng nằm trên đường cao AH.

Xét tam giác AEC:
- E là trung điểm của AC.
- G là trung điểm của DH.

Do đó, đường thẳng nối E và G là đường trung trực của AC và DH.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường trung trực của AC và DH cũng là đường trung trực của BC.

Do đó, B, G, E thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng B, G, E thẳng hàng.