Để chứng minh \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \) với \( S = \sum_{n=31}^{60} \frac{1}{n} \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức tích phân để ước lượng tổng của các số hạng trong dãy.

Trước hết, ta xét hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \). Hàm số này là hàm giảm trên khoảng \([31, 60]\). Do đó, ta có thể sử dụng tích phân để ước lượng tổng của dãy này.

Xét tích phân của \( f(x) \) từ 31 đến 60:

\[
\int_{31}^{60} \frac{1}{x} \, dx
\]

Tích phân này có thể được tính như sau:

\[
\int_{31}^{60} \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Big|_{31}^{60} = \ln 60 - \ln 31 = \ln \left( \frac{60}{31} \right)
\]

Bây giờ, ta cần ước lượng giá trị của \( \ln \left( \frac{60}{31} \right) \):

\[
\frac{60}{31} \approx 1.935
\]

Sử dụng bảng logarit hoặc máy tính, ta có:

\[
\ln 1.935 \approx 0.661
\]

Do đó:

\[
\int_{31}^{60} \frac{1}{x} \, dx \approx 0.661
\]

Bây giờ, ta cần ước lượng tổng \( S \) bằng cách sử dụng bất đẳng thức tích phân. Ta biết rằng:

\[
\int_{31}^{60} \frac{1}{x} \, dx < \sum_{n=31}^{60} \frac{1}{n} < \int_{30}^{59} \frac{1}{x} \, dx
\]

Tính tích phân từ 30 đến 59:

\[
\int_{30}^{59} \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \Big|_{30}^{59} = \ln 59 - \ln 30 = \ln \left( \frac{59}{30} \right)
\]

Ước lượng giá trị của \( \ln \left( \frac{59}{30} \right) \):

\[
\frac{59}{30} \approx 1.967
\]

Sử dụng bảng logarit hoặc máy tính, ta có:

\[
\ln 1.967 \approx 0.676
\]

Do đó:

\[
\int_{30}^{59} \frac{1}{x} \, dx \approx 0.676
\]

Vậy, ta có:

\[
0.661 < S < 0.676
\]

Bây giờ, ta cần kiểm tra xem \( \frac{3}{5} \) và \( \frac{4}{5} \) có nằm trong khoảng này hay không:

\[
\frac{3}{5} = 0.6 \quad \text{và} \quad \frac{4}{5} = 0.8
\]

Rõ ràng là:

\[
0.6 < 0.661 < S < 0.676 < 0.8
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{3}{5} < S < \frac{4}{5}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( \frac{3}{5} < S < \frac{4}{5} \).