Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 90 độ) có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O và AB = 4cm, CD = 9cm.

a. Chứng minh tam giác AOB đồng dạng với tam giác DAB.

Xét tam giác AOB và tam giác DAB:
- Góc AOB và góc DAB đều là góc vuông (do AB và CD là hai cạnh song song và vuông góc với AD).
- Góc A trong tam giác AOB bằng góc D trong tam giác DAB (cùng bằng 90 độ).

Do đó, tam giác AOB và tam giác DAB có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

b. Tính độ dài AD.

Do hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOC.

Gọi AD = h, ta có:
- Tam giác vuông AOD: \( AO^2 + OD^2 = AD^2 \)
- Tam giác vuông BOC: \( BO^2 + OC^2 = BC^2 \)

Do AC và BD vuông góc với nhau tại O, ta có:
- \( AO = BO \)
- \( OD = OC \)

Vì AB = 4cm và CD = 9cm, ta có:
- \( AO = \frac{AB}{2} = 2cm \)
- \( OC = \frac{CD}{2} = 4.5cm \)

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOD:
\[ AD^2 = AO^2 + OD^2 \]
\[ AD^2 = 2^2 + 4.5^2 \]
\[ AD^2 = 4 + 20.25 \]
\[ AD^2 = 24.25 \]
\[ AD = \sqrt{24.25} \approx 4.92 \text{cm} \]

c. Chứng minh OA.OD = OB.OC.

Do hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, ta có:
- \( OA = OB \)
- \( OD = OC \)

Từ đó, ta có:
\[ OA \cdot OD = OB \cdot OC \]

Vì \( OA = OB \) và \( OD = OC \), nên:
\[ OA \cdot OD = OB \cdot OC \]

Điều này chứng minh rằng \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \).