Để tính diện tích của hình thang ABCD với các thông số đã cho, ta có thể sử dụng công thức diện tích hình thang và một số kiến thức về hình học.

1. **Xác định chiều cao của hình thang:**

Gọi \( h \) là chiều cao của hình thang. Ta sẽ sử dụng các góc đã cho để xác định chiều cao này.

- Góc \( C = 30^\circ \)
- Góc \( D = 60^\circ \)

Gọi \( A' \) và \( B' \) là các hình chiếu vuông góc của \( A \) và \( B \) lên \( CD \). Khi đó, \( A'B' \) là đoạn thẳng nằm trên \( CD \) và song song với \( AB \).

Ta có:
\[
A'B' = AB = 1 \text{ cm}
\]

Độ dài đoạn \( A'C \) và \( B'D \) có thể tính bằng cách sử dụng các góc đã cho:
\[
A'C = h \cot 30^\circ = h \sqrt{3}
\]
\[
B'D = h \cot 60^\circ = h \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Tổng độ dài \( CD \) là:
\[
CD = A'C + A'B' + B'D = h \sqrt{3} + 1 + h \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Ta biết \( CD = 5 \text{ cm} \), do đó:
\[
h \sqrt{3} + 1 + h \frac{1}{\sqrt{3}} = 5
\]

Đưa về cùng mẫu số:
\[
h \sqrt{3} + 1 + h \frac{1}{\sqrt{3}} = 5
\]
\[
h \sqrt{3} + 1 + \frac{h}{\sqrt{3}} = 5
\]
\[
h \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 1 = 5
\]
\[
h \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 4
\]
\[
h \left( \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 4
\]
\[
h \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right) = 4
\]
\[
h = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}
\]

Vậy chiều cao của hình thang là \( h = \sqrt{3} \text{ cm} \).

2. **Tính diện tích hình thang:**

Diện tích hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h
\]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times (1 + 5) \times \sqrt{3}
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{3}
\]
\[
S = 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích của hình thang ABCD là \( 3 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \).