Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác HBI

Để chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI, chúng ta cần chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau.

1. Xét tam giác ABD và tam giác HBI:
- Góc ABD là góc chung của cả hai tam giác ABD và HBI.
- Góc BAD là góc vuông vì tam giác ABC vuông tại A, do đó góc BAD = 90°.
- Góc BHI là góc vuông vì AH là đường cao của tam giác ABC, do đó góc BHI = 90°.

Như vậy, ta có:
- \(\angle ABD = \angle HBI\)
- \(\angle BAD = \angle BHI = 90^\circ\)

Do đó, tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI theo trường hợp góc-góc (AA).

### b) Chứng minh: \(AH^2 = HB \cdot HC\). Tính AB khi BH = 9cm, HC = 16cm

1. Chứng minh \(AH^2 = HB \cdot HC\):
- Xét tam giác vuông ABC với đường cao AH từ A xuống BC.
- Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]

2. Tính AB khi BH = 9cm, HC = 16cm:
- Theo hệ thức lượng đã chứng minh, ta có:
\[
AH^2 = HB \cdot HC = 9 \cdot 16 = 144
\]
- Do đó:
\[
AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]
- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = AC^2
\]
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:
\[
AB^2 + 12^2 = AC^2
\]
- Ta cũng biết rằng:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + 12^2}
\]
- Nhưng để tính AB, chúng ta cần thêm thông tin về AC hoặc BC. Tuy nhiên, nếu chỉ cần tính AH thì đã đủ.

### d) Chứng minh K, P, Q thẳng hàng

1. Gọi K là hình chiếu của C trên BD, P là hình chiếu của K trên AC, Q là trung điểm của BC.
2. Để chứng minh K, P, Q thẳng hàng, ta sử dụng các tính chất hình học và trực giao.

- K là hình chiếu của C trên BD, do đó CK vuông góc với BD.
- P là hình chiếu của K trên AC, do đó KP vuông góc với AC.
- Q là trung điểm của BC.

3. Xét tam giác ABC vuông tại A:
- AH là đường cao từ A xuống BC.
- BD là phân giác của góc B trong tam giác ABC.

4. Sử dụng các tính chất của đường phân giác và đường cao, ta có:
- K nằm trên đường phân giác BD và vuông góc với AC.
- P là hình chiếu của K trên AC, do đó KP vuông góc với AC.

5. Xét tam giác vuông BHC với đường cao AH:
- Q là trung điểm của BC, do đó Q nằm trên đường trung trực của BC.

6. Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra rằng K, P, Q thẳng hàng theo định lý về đường trung trực và các đường vuông góc trong tam giác vuông.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng K, P, Q thẳng hàng.