Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

**a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA**

Tam giác ABC vuông tại A, do đó góc A = 90°. Đường cao AH vuông góc với BC tại H.

Xét tam giác ABC và tam giác HBA:
- Góc AHB = 90° (do AH là đường cao).
- Góc B chung cho cả hai tam giác.

Do đó, tam giác ABC và tam giác HBA có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

**b) Chứng minh \(AH^2 = HB \cdot HC\)**

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH^2 = HB \cdot HC \]

Định lý này nói rằng trong một tam giác vuông, đường cao từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn, và bình phương đường cao bằng tích của hai đoạn đó.

**c) Tính độ dài BC và AH**

Đầu tiên, tính độ dài BC:
Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagoras:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ BC^2 = 36 + 64 \]
\[ BC^2 = 100 \]
\[ BC = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]

Tiếp theo, tính độ dài AH:
Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]
\[ AH = \frac{6 \cdot 8}{10} \]
\[ AH = \frac{48}{10} \]
\[ AH = 4.8 \, \text{cm} \]

**d) Chứng minh \(AE \cdot CE = CD \cdot EH\)**

Xét tam giác AEC và tam giác DEC:
- AE là phân giác của góc ACB, do đó theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
\[ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \]

Gọi \( AE = x \) và \( EC = y \), ta có:
\[ \frac{x}{y} = \frac{6}{10} \]
\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \]
\[ 5x = 3y \]
\[ y = \frac{5}{3}x \]

Xét tam giác ADE và tam giác EHC:
- Góc ADE = góc EHC (đối đỉnh).
- Góc DAE = góc ECH (do AE là phân giác).

Do đó, tam giác ADE và tam giác EHC đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{EH} = \frac{AD}{EC} \]
\[ AE \cdot EC = AD \cdot EH \]

Vì \( AD = CD \), ta có:
\[ AE \cdot CE = CD \cdot EH \]

Vậy ta đã chứng minh được \( AE \cdot CE = CD \cdot EH \).