Để tìm ba số \( x, y, z \) thỏa mãn hệ phương trình:

\[ \frac{5z - 6y}{4} = \frac{6x - 4z}{5} = \frac{4y - 5x}{6} \]

và \( xyz = 960 \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. Đặt \( k \) là giá trị chung của các phân số:

\[ \frac{5z - 6y}{4} = k \]
\[ \frac{6x - 4z}{5} = k \]
\[ \frac{4y - 5x}{6} = k \]

2. Từ các phương trình trên, ta có:

\[ 5z - 6y = 4k \]
\[ 6x - 4z = 5k \]
\[ 4y - 5x = 6k \]

3. Giải hệ phương trình này để tìm \( x, y, z \) theo \( k \):

Từ phương trình đầu tiên:
\[ 5z - 6y = 4k \]
\[ z = \frac{4k + 6y}{5} \]

Từ phương trình thứ hai:
\[ 6x - 4z = 5k \]
Thay \( z = \frac{4k + 6y}{5} \) vào:
\[ 6x - 4\left(\frac{4k + 6y}{5}\right) = 5k \]
\[ 6x - \frac{16k + 24y}{5} = 5k \]
Nhân cả hai vế với 5:
\[ 30x - (16k + 24y) = 25k \]
\[ 30x - 24y = 41k \]
\[ x = \frac{41k + 24y}{30} \]

Từ phương trình thứ ba:
\[ 4y - 5x = 6k \]
Thay \( x = \frac{41k + 24y}{30} \) vào:
\[ 4y - 5\left(\frac{41k + 24y}{30}\right) = 6k \]
\[ 4y - \frac{205k + 120y}{30} = 6k \]
Nhân cả hai vế với 30:
\[ 120y - (205k + 120y) = 180k \]
\[ 120y - 205k - 120y = 180k \]
\[ -205k = 180k \]
\[ 385k = 0 \]
\[ k = 0 \]

Nếu \( k = 0 \), thì từ các phương trình:
\[ 5z - 6y = 0 \]
\[ 6x - 4z = 0 \]
\[ 4y - 5x = 0 \]

Ta có:
\[ 5z = 6y \]
\[ z = \frac{6y}{5} \]

\[ 6x = 4z \]
\[ x = \frac{2z}{3} \]
\[ x = \frac{2 \cdot \frac{6y}{5}}{3} \]
\[ x = \frac{12y}{15} \]
\[ x = \frac{4y}{5} \]

\[ 4y = 5x \]
\[ 4y = 5 \cdot \frac{4y}{5} \]
\[ 4y = 4y \]

Vậy \( x = \frac{4y}{5} \), \( z = \frac{6y}{5} \).

Từ điều kiện \( xyz = 960 \):
\[ \left(\frac{4y}{5}\right) \cdot y \cdot \left(\frac{6y}{5}\right) = 960 \]
\[ \frac{24y^3}{25} = 960 \]
\[ 24y^3 = 960 \cdot 25 \]
\[ 24y^3 = 24000 \]
\[ y^3 = 1000 \]
\[ y = 10 \]

Vậy:
\[ x = \frac{4y}{5} = \frac{4 \cdot 10}{5} = 8 \]
\[ z = \frac{6y}{5} = \frac{6 \cdot 10}{5} = 12 \]

Ba số cần tìm là \( x = 8 \), \( y = 10 \), \( z = 12 \).