Để phương trình \( x^2 - 2mx + m - 4 = 0 \) có hai nghiệm nguyên, ta cần sử dụng định lý Viète. Theo định lý Viète, nếu phương trình \( x^2 - 2mx + m - 4 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \), thì:

1. \( x_1 + x_2 = 2m \)
2. \( x_1 x_2 = m - 4 \)

Vì \( x_1 \) và \( x_2 \) là các số nguyên, ta có thể viết lại các điều kiện này như sau:

\[ x_1 + x_2 = 2m \]
\[ x_1 x_2 = m - 4 \]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[ 2m = x_1 + x_2 \implies m = \frac{x_1 + x_2}{2} \]

Do \( m \) là một số nguyên, nên \( x_1 + x_2 \) phải là một số chẵn. Điều này có nghĩa là \( x_1 \) và \( x_2 \) phải cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ.

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[ m = x_1 x_2 + 4 \]

Kết hợp hai phương trình này, ta có:

\[ \frac{x_1 + x_2}{2} = x_1 x_2 + 4 \]

Nhân cả hai vế với 2, ta được:

\[ x_1 + x_2 = 2x_1 x_2 + 8 \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\[ x_1 + x_2 - 2x_1 x_2 - 8 = 0 \]

Sắp xếp lại:

\[ x_1 + x_2 - 2x_1 x_2 = 8 \]

Để tìm các giá trị của \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn phương trình này, ta thử các cặp số nguyên \( (x_1, x_2) \):

1. \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 6 \):
\[ 2 + 6 - 2 \cdot 2 \cdot 6 = 8 - 24 = -16 \neq 8 \]

2. \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \):
\[ 3 + 5 - 2 \cdot 3 \cdot 5 = 8 - 30 = -22 \neq 8 \]

3. \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 4 \):
\[ 4 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 4 = 8 - 32 = -24 \neq 8 \]

4. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 9 \):
\[ 1 + 9 - 2 \cdot 1 \cdot 9 = 10 - 18 = -8 \neq 8 \]

5. \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \):
\[ 2 + 4 - 2 \cdot 2 \cdot 4 = 6 - 16 = -10 \neq 8 \]

6. \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 3 \):
\[ 3 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot 3 = 6 - 18 = -12 \neq 8 \]

7. \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \):
\[ 2 + 3 - 2 \cdot 2 \cdot 3 = 5 - 12 = -7 \neq 8 \]

8. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 4 \):
\[ 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 \neq 8 \]

9. \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 2 \):
\[ 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \neq 8 \]

10. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \):
\[ 1 + 3 - 2 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \neq 8 \]

11. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \):
\[ 1 + 2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 = 3 - 4 = -1 \neq 8 \]

12. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1 \):
\[ 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 - 2 = 0 \neq 8 \]

Như vậy, không có cặp số nguyên nào thỏa mãn phương trình \( x_1 + x_2 - 2x_1 x_2 = 8 \). Do đó, không tồn tại giá trị \( m \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để phương trình \( x^2 - 2mx + m - 4 = 0 \) có hai nghiệm nguyên.