Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### a. Diện tích tam giác ABC

Cho tam giác cân ABC với đáy \( AB = 2a \) và cạnh bên \( AC = BC = b \).

1. **Tìm chiều cao từ đỉnh C xuống đáy AB:**

Vì tam giác ABC là tam giác cân, đường cao từ đỉnh C sẽ chia đáy AB thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài \( a \).

Gọi \( D \) là chân đường cao từ đỉnh C xuống đáy AB. Khi đó, \( AD = DB = a \).

Trong tam giác vuông ADC, ta có:
\[
AC^2 = AD^2 + CD^2
\]
\[
b^2 = a^2 + CD^2
\]
\[
CD^2 = b^2 - a^2
\]
\[
CD = \sqrt{b^2 - a^2}
\]

2. **Tính diện tích tam giác ABC:**

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{b^2 - a^2}
\]
\[
S = a \sqrt{b^2 - a^2}
\]

### b. Dựng BK vuông góc AC. Tính AK/AC

Giả sử \( BK \) vuông góc với \( AC \) tại \( K \).

1. **Tính AK:**

Trong tam giác vuông \( AKC \), ta có:
\[
\sin(\angle AKC) = \frac{BK}{AC}
\]
Vì \( BK \) vuông góc với \( AC \), nên \( \angle AKC = 90^\circ \).

Do đó, \( \sin(90^\circ) = 1 \), và:
\[
\frac{BK}{AC} = 1
\]

Tuy nhiên, để tìm tỉ lệ \( \frac{AK}{AC} \), chúng ta cần biết thêm thông tin về vị trí của điểm \( K \) trên \( AC \).

2. **Tính tỉ lệ \( \frac{AK}{AC} \):**

Nếu \( K \) là điểm bất kỳ trên \( AC \), thì tỉ lệ \( \frac{AK}{AC} \) sẽ phụ thuộc vào vị trí cụ thể của \( K \). Nếu \( K \) là trung điểm của \( AC \), thì:
\[
\frac{AK}{AC} = \frac{1}{2}
\]

Tuy nhiên, nếu không có thông tin cụ thể về vị trí của \( K \), chúng ta không thể xác định chính xác tỉ lệ này.

Vì vậy, nếu không có thêm thông tin về vị trí của điểm \( K \) trên \( AC \), chúng ta không thể tính chính xác tỉ lệ \( \frac{AK}{AC} \).