Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ AE vuông góc AB, AF vuông góc AC, EK vuông góc EF, FM vuông góc EF (K ∈ BH, M ∈ CH). a) Biết AB = 6cm, AC = 8 cm. Tính BC, BH, CH. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) AH cắt EF tại O. Tính góc KOM

a) Tính BC, BH, CH

Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Thay giá trị AB và AC vào:
\[ BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ BC = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm} \]

Đường cao AH trong tam giác vuông ABC được tính bằng công thức:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay giá trị AB, AC và BC vào:
\[ AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm} \]

Để tính BH và CH, ta sử dụng công thức:
\[ BH = \frac{AB^2}{BC} \]
\[ CH = \frac{AC^2}{BC} \]

Thay giá trị AB, AC và BC vào:
\[ BH = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \, \text{cm} \]
\[ CH = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \, \text{cm} \]

b) Chứng minh AE . AB = AF . AC

Do AE vuông góc với AB và AF vuông góc với AC, nên AE và AF là các đường cao của các tam giác vuông nhỏ hơn trong tam giác ABC.

Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông AFC, ta có:
\[ \angle AEB = \angle AFC = 90^\circ \]

Do đó, tam giác AEB và tam giác AFC đều có góc vuông tại E và F, và góc A chung, nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} \]

Nhân hai vế của phương trình trên với AE và AF, ta được:
\[ AE \cdot AB = AF \cdot AC \]

c) Tính góc KOM

Do EK vuông góc với EF và FM vuông góc với EF, nên EK và FM là các đường cao của tam giác vuông nhỏ hơn trong tam giác ABC.

Điểm O là giao điểm của AH và EF, và AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AH vuông góc với BC.

Do đó, tam giác KOH và tam giác MOH đều là tam giác vuông tại H.

Xét tam giác vuông KOH và tam giác vuông MOH, ta có:
\[ \angle KOH = \angle MOH = 90^\circ \]

Do đó, góc KOM là góc giữa hai đường cao của tam giác vuông tại H, nên:
\[ \angle KOM = 90^\circ \]

Vậy, góc KOM bằng 90 độ.