Cho hình bình hành \(ABCD\). Trên đường chéo \(BD\) lấy 2 điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(BE = DF < \frac{BD}{2}\). Chúng ta sẽ chứng minh các phần sau:

a) \(AF = CE\).

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(BD\). Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(DF\).

### Chứng minh:

#### Phần a: Chứng minh \(AF = CE\)

1. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

2. **Xét tam giác \(ABD\):**
- Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\), ta có \(BO = OD\).
- Điểm \(E\) nằm trên \(BD\) sao cho \(BE = DF\).

3. **Xét tam giác \(AFO\) và \(CEO\):**
- Trong tam giác \(AFO\), \(O\) là trung điểm của \(AF\) (vì \(O\) là trung điểm của \(BD\) và \(F\) nằm trên \(BD\)).
- Trong tam giác \(CEO\), \(O\) là trung điểm của \(CE\) (vì \(O\) là trung điểm của \(BD\) và \(E\) nằm trên \(BD\)).

4. **Sử dụng tính chất đối xứng của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, các đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện với nhau qua trung điểm của đường chéo là bằng nhau.
- Do đó, \(AF = CE\).

#### Phần b: Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(DF\)

1. **Tính chất của hình bình hành:**
- \(O\) là trung điểm của \(BD\).

2. **Xét đoạn thẳng \(DF\):**
- Vì \(BE = DF\) và \(E\) nằm trên \(BD\), ta có \(DF = BE\).
- Do \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(BO = OD\).

3. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(O\) chia \(BD\) thành hai đoạn bằng nhau: \(BO = OD\).
- Do đó, \(O\) cũng chia \(DF\) thành hai đoạn bằng nhau: \(DO = OF\).

4. **Kết luận:**
- \(O\) là trung điểm của \(DF\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
a) \(AF = CE\).
b) \(O\) là trung điểm của \(DF\).