Để giải hệ phương trình với các biến \( x, y, z \) thỏa mãn:

\[ \frac{5z - 6y}{4} = \frac{6x - 4z}{5} = \frac{4y - 5x}{6} \]

và \( xyz = 960 \), ta có thể làm như sau:

Đặt \( k \) là giá trị chung của các biểu thức:

\[ \frac{5z - 6y}{4} = k \]
\[ \frac{6x - 4z}{5} = k \]
\[ \frac{4y - 5x}{6} = k \]

Từ đây, ta có thể viết lại các phương trình:

\[ 5z - 6y = 4k \]
\[ 6x - 4z = 5k \]
\[ 4y - 5x = 6k \]

Giải hệ phương trình này để tìm \( x, y, z \):

1. Từ phương trình đầu tiên:
\[ 5z - 6y = 4k \]
\[ 5z = 4k + 6y \]
\[ z = \frac{4k + 6y}{5} \]

2. Từ phương trình thứ hai:
\[ 6x - 4z = 5k \]
\[ 6x = 5k + 4z \]
\[ x = \frac{5k + 4z}{6} \]

3. Từ phương trình thứ ba:
\[ 4y - 5x = 6k \]
\[ 4y = 6k + 5x \]
\[ y = \frac{6k + 5x}{4} \]

Thay \( z \) từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai:

\[ x = \frac{5k + 4 \left( \frac{4k + 6y}{5} \right)}{6} \]
\[ x = \frac{5k + \frac{16k + 24y}{5}}{6} \]
\[ x = \frac{5k + \frac{16k}{5} + \frac{24y}{5}}{6} \]
\[ x = \frac{25k + 16k + 24y}{30} \]
\[ x = \frac{41k + 24y}{30} \]

Thay \( x \) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ ba:

\[ y = \frac{6k + 5 \left( \frac{41k + 24y}{30} \right)}{4} \]
\[ y = \frac{6k + \frac{205k + 120y}{30}}{4} \]
\[ y = \frac{180k + 205k + 120y}{120} \]
\[ y = \frac{385k + 120y}{120} \]
\[ 120y = 385k + 120y \]
\[ 0 = 385k \]

Điều này dẫn đến \( k = 0 \). Nếu \( k = 0 \), các phương trình trở thành:

\[ 5z - 6y = 0 \]
\[ 6x - 4z = 0 \]
\[ 4y - 5x = 0 \]

Giải hệ phương trình này:

\[ 5z = 6y \]
\[ z = \frac{6y}{5} \]

\[ 6x = 4z \]
\[ x = \frac{4z}{6} = \frac{2z}{3} \]

\[ 4y = 5x \]
\[ y = \frac{5x}{4} \]

Thay \( x = \frac{2z}{3} \) vào \( y = \frac{5x}{4} \):

\[ y = \frac{5 \left( \frac{2z}{3} \right)}{4} = \frac{10z}{12} = \frac{5z}{6} \]

Thay \( y = \frac{5z}{6} \) vào \( z = \frac{6y}{5} \):

\[ z = \frac{6 \left( \frac{5z}{6} \right)}{5} = z \]

Điều này đúng, do đó ta có \( x = \frac{2z}{3} \), \( y = \frac{5z}{6} \), và \( z \) là một giá trị bất kỳ.

Sử dụng \( xyz = 960 \):

\[ \left( \frac{2z}{3} \right) \left( \frac{5z}{6} \right) z = 960 \]
\[ \frac{10z^3}{18} = 960 \]
\[ \frac{5z^3}{9} = 960 \]
\[ 5z^3 = 8640 \]
\[ z^3 = 1728 \]
\[ z = \sqrt[3]{1728} = 12 \]

Do đó:

\[ z = 12 \]
\[ y = \frac{5z}{6} = \frac{5 \times 12}{6} = 10 \]
\[ x = \frac{2z}{3} = \frac{2 \times 12}{3} = 8 \]

Vậy, các giá trị của \( x, y, z \) là:

\[ x = 8, y = 10, z = 12 \]