Để chứng minh đẳng thức \(\frac{a^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{b}\) với điều kiện \( \frac{a}{c} = \frac{c}{b} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Điều kiện ban đầu:**
\[
\frac{a}{c} = \frac{c}{b}
\]
Từ điều kiện này, ta có thể suy ra:
\[
a \cdot b = c^2
\]
hoặc
\[
a = \frac{c^2}{b}
\]

2. **Thay \(a\) vào đẳng thức cần chứng minh:**
Ta cần chứng minh:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{b}
\]
Thay \(a = \frac{c^2}{b}\) vào đẳng thức trên:
\[
\frac{\left(\frac{c^2}{b}\right)^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{\frac{c^2}{b}}{b}
\]

3. **Biến đổi vế trái:**
\[
\frac{\left(\frac{c^2}{b}\right)^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{\frac{c^4}{b^2} + c^2}{b^2 + c^2}
\]
\[
= \frac{\frac{c^4 + b^2 c^2}{b^2}}{b^2 + c^2}
\]
\[
= \frac{c^4 + b^2 c^2}{b^2 (b^2 + c^2)}
\]

4. **Biến đổi vế phải:**
\[
\frac{\frac{c^2}{b}}{b} = \frac{c^2}{b^2}
\]

5. **So sánh hai vế:**
Ta cần chứng minh:
\[
\frac{c^4 + b^2 c^2}{b^2 (b^2 + c^2)} = \frac{c^2}{b^2}
\]
Nhân cả hai vế với \(b^2 (b^2 + c^2)\):
\[
c^4 + b^2 c^2 = c^2 (b^2 + c^2)
\]
\[
c^4 + b^2 c^2 = c^2 b^2 + c^4
\]
Hai vế này bằng nhau, do đó đẳng thức đã được chứng minh.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{b}
\]
với điều kiện \( \frac{a}{c} = \frac{c}{b} \).