Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( A = x^2 + 9x + 10 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc tính đạo hàm và tìm điểm cực trị.

### Phương pháp hoàn thành bình phương

1. Bắt đầu với biểu thức ban đầu:
\[ A = x^2 + 9x + 10 \]

2. Hoàn thành bình phương cho phần \( x^2 + 9x \):
\[ x^2 + 9x = (x + \frac{9}{2})^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 \]
\[ = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} \]

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ A = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + 10 \]
\[ = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + \frac{40}{4} \]
\[ = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{41}{4} \]

4. Giá trị nhỏ nhất của \( (x + \frac{9}{2})^2 \) là 0, khi \( x = -\frac{9}{2} \).

5. Khi \( x = -\frac{9}{2} \), giá trị của \( A \) là:
\[ A = 0 - \frac{41}{4} = -\frac{41}{4} \]

### Phương pháp đạo hàm

1. Tính đạo hàm của \( A \):
\[ A' = 2x + 9 \]

2. Đặt \( A' = 0 \) để tìm điểm cực trị:
\[ 2x + 9 = 0 \]
\[ x = -\frac{9}{2} \]

3. Tính giá trị của \( A \) tại \( x = -\frac{9}{2} \):
\[ A = \left(-\frac{9}{2}\right)^2 + 9\left(-\frac{9}{2}\right) + 10 \]
\[ = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + 10 \]
\[ = \frac{81}{4} - \frac{162}{4} + \frac{40}{4} \]
\[ = \frac{81 - 162 + 40}{4} \]
\[ = \frac{-41}{4} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A = x^2 + 9x + 10 \) là \( -\frac{41}{4} \).