Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Biết \( \frac{BH}{CH} = \frac{1}{4} \), \( AH = 14 \) cm. Ta cần tính \( BH \), \( CH \), và \( AB \).

Trước hết, ta đặt \( BH = x \) và \( CH = 4x \) theo tỉ lệ đã cho.

Trong tam giác vuông \( ABC \), đường cao \( AH \) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ \( ABH \) và \( ACH \), và ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]

Thay các giá trị đã biết vào phương trình trên:
\[ 14^2 = x \cdot 4x \]
\[ 196 = 4x^2 \]
\[ x^2 = \frac{196}{4} \]
\[ x^2 = 49 \]
\[ x = 7 \]

Vậy:
\[ BH = x = 7 \, \text{cm} \]
\[ CH = 4x = 4 \cdot 7 = 28 \, \text{cm} \]

Bây giờ, ta tính \( AB \). Trong tam giác vuông \( ABH \), ta có:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ AB^2 = 14^2 + 7^2 \]
\[ AB^2 = 196 + 49 \]
\[ AB^2 = 245 \]
\[ AB = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \, \text{cm} \]

Tóm lại:
\[ BH = 7 \, \text{cm} \]
\[ CH = 28 \, \text{cm} \]
\[ AB = 7\sqrt{5} \, \text{cm} \]