Để giải quyết các yêu cầu liên quan đến biểu thức \( P = \frac{42 - x}{x - 15} \), ta sẽ phân tích từng trường hợp một cách chi tiết.

### a) P là số hữu tỉ dương

Để \( P \) là số hữu tỉ dương, tử số và mẫu số của phân số phải cùng dấu. Tức là:

1. \( 42 - x > 0 \) và \( x - 15 > 0 \)
2. \( 42 - x < 0 \) và \( x - 15 < 0 \)

Giải các bất phương trình:

1. \( 42 - x > 0 \) và \( x - 15 > 0 \)
- \( 42 - x > 0 \) => \( x < 42 \)
- \( x - 15 > 0 \) => \( x > 15 \)

Kết hợp lại ta có: \( 15 < x < 42 \)

2. \( 42 - x < 0 \) và \( x - 15 < 0 \)
- \( 42 - x < 0 \) => \( x > 42 \)
- \( x - 15 < 0 \) => \( x < 15 \)

Không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng lúc.

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) là số hữu tỉ dương là: \( x \) thuộc khoảng \( 16, 17, \ldots, 41 \).

### b) P là số hữu tỉ âm

Để \( P \) là số hữu tỉ âm, tử số và mẫu số của phân số phải trái dấu. Tức là:

1. \( 42 - x > 0 \) và \( x - 15 < 0 \)
2. \( 42 - x < 0 \) và \( x - 15 > 0 \)

Giải các bất phương trình:

1. \( 42 - x > 0 \) và \( x - 15 < 0 \)
- \( 42 - x > 0 \) => \( x < 42 \)
- \( x - 15 < 0 \) => \( x < 15 \)

Kết hợp lại ta có: \( x < 15 \)

2. \( 42 - x < 0 \) và \( x - 15 > 0 \)
- \( 42 - x < 0 \) => \( x > 42 \)
- \( x - 15 > 0 \) => \( x > 15 \)

Kết hợp lại ta có: \( x > 42 \)

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) là số hữu tỉ âm là: \( x \) thuộc khoảng \( x < 15 \) hoặc \( x > 42 \).

### c) P không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương

Điều này có nghĩa là \( P = 0 \). Để \( P = 0 \), tử số của phân số phải bằng 0:

\[ 42 - x = 0 \]
\[ x = 42 \]

Vậy, giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương là: \( x = 42 \).

### d) P có giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần xét đạo hàm của \( P \) hoặc phân tích biểu thức \( P \) theo cách khác. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể xét các giá trị của \( P \) khi \( x \) tiến tới các giá trị biên.

Khi \( x \) tiến tới 15 từ bên trái hoặc bên phải, giá trị của \( P \) tiến tới vô cùng âm hoặc vô cùng dương. Do đó, ta cần xét các giá trị cụ thể của \( x \) trong các khoảng đã phân tích.

Ta có thể thử các giá trị nguyên gần biên của các khoảng đã tìm được:

- Khi \( x = 16 \), \( P = \frac{42 - 16}{16 - 15} = \frac{26}{1} = 26 \)
- Khi \( x = 14 \), \( P = \frac{42 - 14}{14 - 15} = \frac{28}{-1} = -28 \)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -28 \) khi \( x = 14 \).

Vậy, giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nhỏ nhất là: \( x = 14 \).