Tứ giác ABCD

Để chứng minh rằng \(\angle D = 2 \angle C\) trong tứ giác \(ABCD\) với các điều kiện đã cho, ta sẽ đi qua các bước sau:

1. **Điều kiện góc trong tứ giác:**
- Ta biết rằng \(\angle A + \angle B = 180^\circ\).
- Do đó, tứ giác \(ABCD\) là một tứ giác nội tiếp đường tròn (tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\)).

2. **Xét các tia phân giác của \(\angle C\) và \(\angle D\):**
- Gọi \(O\) là giao điểm của các tia phân giác của \(\angle C\) và \(\angle D\).
- Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\angle COA = \frac{1}{2} \angle C \quad \text{và} \quad \angle DOB = \frac{1}{2} \angle D
\]

3. **Sử dụng điều kiện \(CD = 2OD\):**
- Gọi \(E\) là điểm trên \(CD\) sao cho \(OE\) vuông góc với \(CD\) và \(E\) nằm giữa \(C\) và \(D\).
- Vì \(CD = 2OD\), ta có \(CE = ED = OD\).

4. **Xét tam giác \(OCE\) và \(ODE\):**
- Trong tam giác \(OCE\), ta có:
\[
\angle OCE = \angle COE = \frac{1}{2} \angle C
\]
- Trong tam giác \(ODE\), ta có:
\[
\angle ODE = \angle DOE = \frac{1}{2} \angle D
\]

5. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Vì \(CE = ED = OD\), tam giác \(OCE\) và tam giác \(ODE\) đều là tam giác cân.
- Do đó, trong tam giác \(OCE\), ta có:
\[
\angle OCE = \angle COE = \frac{1}{2} \angle C
\]
- Trong tam giác \(ODE\), ta có:
\[
\angle ODE = \angle DOE = \frac{1}{2} \angle D
\]

6. **Sử dụng tổng các góc trong tam giác:**
- Tổng các góc trong tam giác \(OCE\) là \(180^\circ\):
\[
\angle COE + \angle OCE + \angle CEO = 180^\circ
\]
\[
\frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle C + \angle CEO = 180^\circ
\]
\[
\angle C + \angle CEO = 180^\circ
\]
- Tương tự, trong tam giác \(ODE\):
\[
\angle DOE + \angle ODE + \angle DEO = 180^\circ
\]
\[
\frac{1}{2} \angle D + \frac{1}{2} \angle D + \angle DEO = 180^\circ
\]
\[
\angle D + \angle DEO = 180^\circ
\]

7. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có:
\[
\angle CEO = \angle DEO = 90^\circ
\]
- Do đó, ta có:
\[
\angle D = 2 \angle C
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(\angle D = 2 \angle C\).