Để giải bất phương trình \((x-2)(5-x) \geq 0\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho tích của hai biểu thức \((x-2)\) và \((5-x)\) không âm (tức là lớn hơn hoặc bằng 0).

1. **Xác định các điểm quan trọng:**
Các điểm quan trọng là các giá trị của \(x\) làm cho mỗi biểu thức bằng 0:
- \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(5 - x = 0 \Rightarrow x = 5\)

2. **Xét dấu của biểu thức trên các khoảng:**
Chia trục số thành các khoảng dựa trên các điểm quan trọng \(x = 2\) và \(x = 5\):
- Khoảng \((-\infty, 2)\)
- Khoảng \((2, 5)\)
- Khoảng \((5, \infty)\)

Xét dấu của tích \((x-2)(5-x)\) trên từng khoảng:

- **Khoảng \((-\infty, 2)\):**
Chọn một giá trị thử, ví dụ \(x = 0\):
\[
(0-2)(5-0) = (-2)(5) = -10 \quad (\text{âm})
\]

- **Khoảng \((2, 5)\):**
Chọn một giá trị thử, ví dụ \(x = 3\):
\[
(3-2)(5-3) = (1)(2) = 2 \quad (\text{dương})
\]

- **Khoảng \((5, \infty)\):**
Chọn một giá trị thử, ví dụ \(x = 6\):
\[
(6-2)(5-6) = (4)(-1) = -4 \quad (\text{âm})
\]

3. **Xét dấu tại các điểm \(x = 2\) và \(x = 5\):**
- Tại \(x = 2\):
\[
(2-2)(5-2) = 0 \quad (\text{bằng 0})
\]
- Tại \(x = 5\):
\[
(5-2)(5-5) = 0 \quad (\text{bằng 0})
\]

4. **Kết luận:**
Bất phương trình \((x-2)(5-x) \geq 0\) đúng khi tích không âm, tức là trên các khoảng mà tích dương hoặc bằng 0. Từ các xét dấu trên, ta có:
- Trên khoảng \((2, 5)\) tích dương.
- Tại các điểm \(x = 2\) và \(x = 5\) tích bằng 0.

Vậy nghiệm của bất phương trình là:
\[
x \in [2, 5]
\]

Kết luận: \((x-2)(5-x) \geq 0\) khi và chỉ khi \(x \in [2, 5]\).