Cho hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\), \(AD\) cắt \(BC\) tại \(I\), và \(AC\) cắt \(BD\) tại \(J\). Ta cần chứng minh rằng \(IJ\) là đường trung trực của \(AB\) và \(CD\).

1. **Chứng minh \(IJ\) là đường trung trực của \(AB\):**

- Vì \(ABCD\) là hình thang cân, nên \(AB \parallel CD\) và \(AD = BC\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\).
- Do \(AB \parallel CD\) và hình thang cân, \(M\) và \(N\) nằm trên đường trung bình của hình thang, tức là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\).
- Đường trung bình này song song với \(AB\) và \(CD\), và cách đều \(AB\) và \(CD\).
- Vì \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\), và \(J\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), nên \(I\) và \(J\) nằm trên đường trung bình này.
- Do đó, \(IJ\) là đường trung bình của hình thang cân \(ABCD\), và vì \(M\) và \(N\) nằm trên đường trung bình này, \(IJ\) là đường trung trực của \(AB\).

2. **Chứng minh \(IJ\) là đường trung trực của \(CD\):**

- Tương tự như trên, vì \(IJ\) là đường trung bình của hình thang cân \(ABCD\), nó cũng là đường trung trực của \(CD\).

3. **Kết luận:**

- Từ các chứng minh trên, ta thấy rằng \(IJ\) là đường trung trực của cả \(AB\) và \(CD\).

Vậy, \(IJ\) là đường trung trực của \(AB\) và \(CD\).