Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Kẻ \(HM\) vuông góc \(AB\) tại \(M\), \(HN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\).

**a. Chứng minh rằng \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\).**

Xét tam giác \(AHM\) và tam giác \(AHN\):

- \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(AH \perp BC\).
- \(HM \perp AB\) tại \(M\) và \(HN \perp AC\) tại \(N\).

Do đó, \(HM \parallel AC\) và \(HN \parallel AB\).

Xét tam giác \(AHM\) và tam giác \(AHN\):

- Góc \(HAM\) chung.
- Góc \(AHM = 90^\circ\) và góc \(AHN = 90^\circ\).

Vậy, hai tam giác \(AHM\) và \(AHN\) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AM}{AN} = \frac{AH}{AH} = 1
\]
Suy ra:
\[
AM = AN
\]

Do đó:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

**b. Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(AD \perp MN\).**

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(D\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AD\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\).

Theo tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và vuông góc với đường cao từ đỉnh góc vuông.

Do đó, \(AD \perp AH\).

Xét tứ giác \(HMNA\):

- \(HM \perp AB\) tại \(M\).
- \(HN \perp AC\) tại \(N\).

Do đó, \(HM \parallel AC\) và \(HN \parallel AB\).

Vì \(AD \perp AH\) và \(AH \parallel MN\) (do \(HM \parallel AC\) và \(HN \parallel AB\)), nên \(AD \perp MN\).

Vậy, ta đã chứng minh được \(AD \perp MN\).