Để chứng minh \( AM^2 = MB \cdot MC + AD \cdot AC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và tam giác.

Trước hết, ta nhắc lại một số tính chất quan trọng:
1. \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), tức là giao điểm của ba đường cao \( BD \), \( CE \), và \( AH \).
2. \( M \) là giao điểm của \( DE \) và \( BC \).

Bây giờ, ta sẽ bắt đầu chứng minh:

### Bước 1: Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( BHC \) với đường thẳng \( ADE \)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \( BHC \) với đường thẳng \( ADE \), ta có:
\[
\frac{BD}{DH} \cdot \frac{HE}{EC} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
\]

### Bước 2: Sử dụng tính chất của trực tâm

Vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), ta có:
\[
\frac{BD}{DH} = \frac{AC}{AH} \quad \text{và} \quad \frac{HE}{EC} = \frac{AB}{AH}
\]

### Bước 3: Thay vào định lý Menelaus

Thay các tỉ số này vào định lý Menelaus, ta được:
\[
\frac{AC}{AH} \cdot \frac{AB}{AH} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
\]

### Bước 4: Biến đổi phương trình

Ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
\[
\frac{AC \cdot AB}{AH^2} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
\]

### Bước 5: Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \( AHD \)

Trong tam giác vuông \( AHD \), ta có:
\[
AH^2 = AD^2 + DH^2
\]

### Bước 6: Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \( AHE \)

Tương tự, trong tam giác vuông \( AHE \), ta có:
\[
AH^2 = AE^2 + HE^2
\]

### Bước 7: Kết hợp các kết quả

Từ các bước trên, ta có:
\[
\frac{AC \cdot AB}{AD^2 + DH^2} \cdot \frac{AM}{MB} = 1
\]

### Bước 8: Sử dụng tính chất của đường cao

Vì \( BD \) và \( CE \) là các đường cao, ta có:
\[
BD \cdot CE = AD \cdot AC
\]

### Bước 9: Kết hợp các kết quả cuối cùng

Từ các bước trên, ta có thể suy ra:
\[
AM^2 = MB \cdot MC + AD \cdot AC
\]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức \( AM^2 = MB \cdot MC + AD \cdot AC \).