Để chứng minh tam giác \( IDE \) cân và tính các góc của tam giác này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các góc trong tam giác \( ABC \):**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( \angle ABC = \angle ACB \).
- Tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \), do đó:
\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
\]
\[
2\angle ABC + 80^\circ = 180^\circ
\]
\[
2\angle ABC = 100^\circ
\]
\[
\angle ABC = 50^\circ
\]
Vậy \( \angle ABC = \angle ACB = 50^\circ \).

2. **Xác định các góc liên quan đến điểm \( D \) và \( E \):**
- Điểm \( D \) trên cạnh \( BC \) sao cho \( \angle CAD = 30^\circ \).
- Điểm \( E \) trên cạnh \( AC \) sao cho \( \angle EBA = 30^\circ \).

3. **Xác định các góc trong tam giác \( ADE \):**
- Xét tam giác \( ADE \):
\[
\angle ADE = \angle ADB = \angle ABC - \angle CAD = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ
\]
- Xét tam giác \( ABE \):
\[
\angle ABE = \angle ABC - \angle EBA = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ
\]
- Do đó, \( \angle ADE = \angle ABE = 20^\circ \).

4. **Xác định các góc trong tam giác \( IDE \):**
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( AD \) và \( BE \).
- Xét tam giác \( IDE \):
\[
\angle IDE = \angle ADE = 20^\circ
\]
\[
\angle EID = \angle AIE
\]
- Vì \( \angle AIE \) là góc trong tam giác \( AIE \), ta cần tính:
\[
\angle AIE = 180^\circ - (\angle IAD + \angle IAE)
\]
- \( \angle IAD = \angle CAD = 30^\circ \)
- \( \angle IAE = \angle EBA = 30^\circ \)
\[
\angle AIE = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ
\]

5. **Kết luận:**
- Tam giác \( IDE \) có \( \angle IDE = 20^\circ \) và \( \angle EID = 120^\circ \).
- Do đó, \( \angle DIE = 180^\circ - (\angle IDE + \angle EID) = 180^\circ - (20^\circ + 120^\circ) = 40^\circ \).

Vậy tam giác \( IDE \) có các góc là \( 20^\circ, 120^\circ, \) và \( 40^\circ \). Tam giác này không cân tại \( I \), nhưng có thể cân tại \( D \) hoặc \( E \) tùy vào cách nhìn nhận.